$\mathbb{F}^{-1}\left ( \frac{\sin^2\omega}{\omega^2} \right )$

[Mrnhan]

Tính tích phân sau:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x\omega)\sin^2\omega}{\omega^2}d\omega $$

Cái này trong bài toán tìm biến đổi ngược của biến đổi Fourier sau:

$$ f(x)=\mathbb{F}^{-1}\left ( \frac{\sin^2\omega}{\omega^2} \right ) $$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi Mrnhan

Tính tích phân sau:

$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x\omega)\sin^2\omega}{\omega^2}d\omega $$

Cái này trong bài toán tìm biến đổi ngược của biến đổi Fourier sau:

$$ f(x)=\mathbb{F}^{-1}\left ( \frac{\sin^2\omega}{\omega^2} \right ) $$

Đặt
$$I(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(x\omega)\sin^2\omega}{\omega^2}d\omega. $$
Do $\int_0^\infty e^{-\omega^2 t } dt = 1/\omega^2$ nên
$$I(x) = \int_0^\infty \cos (x\omega) \sin^2 \omega \int_0^\infty e^{-\omega^2 t} dt d\omega = \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-\omega^2 t} (\cos x\omega) \sin^2 \omega \, d\omega \, dt,$$
đẳng thức cuối suy ra từ định lý Fubini. Do $\sin^2\omega = (1 -\cos(2\omega))/2$ nên ta có
$$\cos (x\omega) \sin^2 \omega = \frac 12 \cos (x\omega) - \frac14 \cos ((x-2)\omega) - \frac14 \cos ((x+2)\omega).$$

Từ bài viết này ([Only registered and activated users can see links. ]) ta có
$$\int_0^\infty e^{-\omega^2 t} \cos (a\omega) d\omega = \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{t}} e^{-\frac{a^2}{4t}},$$
do đó
$$I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}4 \int_0^\infty\frac1{\sqrt{t}} \left(e^{-\frac{x^2}{4t}} - \frac12 e^{-\frac{(x-2)^2}{4t}} - \frac12 e^{-\frac{(x+2)^2}{4t}}\right) dt.$$

Giả sử $a \geq 0$, ta có
$$J(a)= \int_0^\infty \frac1{2\sqrt{t}}\left(1 -e^{-\frac{a^2}{4t}}\right) dt = \frac{\sqrt{\pi}}2 a.$$
Thật vậy, do $1 -e^{-a^2/4t} = \int_0^{a^2/4t} e^{-s} ds$ nên sử dụng định lý Fubini ta có
$$J(a) = \int_0^\infty \frac1{2\sqrt{t}} \int_0^{a^2/4t} e^{-s} ds dt= \int_0^\infty e^{-s} \int_0^{a^2/4s} \frac1{2\sqrt{t} } dt ds = a\, \int_0^\infty e^{-s} \frac1{2\sqrt{s}} ds = a \int_0^\infty e^{-s^2} ds = \frac{\sqrt{\pi}}2\, a.$$
Ta có
$$I(x) = \frac{\sqrt{\pi}}4 (J(|x-2|) + J(|x+2|) -2J(|x|)) = \frac{\pi}8 (|x+2| + |x-2| -2|x|)= \frac{\pi}{4} \max\{2 -|x|, 0\}.$$

Ps: Bạn có thể tính phép biến đổi Fourier ngược của hàm $\frac{\sin x} x$ (là tích của hàm đặc trưng của đoạn $[-1,1]$ với một số thực nào đó) sau đó tính tích chập của hàm thu được với chính nó sẽ thu được kết quả cho hàm $\frac{\sin^2 x}{x^2}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mrnhan]

Em làm như cách anh hướng dẫn, anh xem có đúng ko?

Xét hàm

$$f(x)=H(x+1)-H(x-1)\Rightarrow \widetilde{f}\left ( \omega \right )=\Im \left \{ f(t) \right \}=\frac{2\sin\omega}{\omega}$$

$$\Rightarrow \Im \left \{ \left ( f*f \right )(t) \right \}=\left [ \widetilde{f}\left ( \omega \right ) \right ]^2=\frac{4\sin^2\omega}{\omega^2}$$

$$\left ( f*f \right )(t)=\Im ^{-1}\left \{ \frac{4\sin^2\omega}{\omega^2} \right \}=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)f(t-x)dx$$

Mà

$$f(x)f(t-x)=\left\{\begin{matrix}1, \, \max \left \{ -1, -1+t \right \} < x < \min\left \{ 1, 1+t \right \}\, \text{&&} \,\left | t \right |<2 \\0,\, \text{otherwise}\end{matrix} \right.$$

$$\left ( f*f \right )(t)=\int_{\max\left \{ -1, -1+t \right \}}^{\min\left \{ 1, 1+t \right \}} dx=\min\left \{ 1, 1+t \right \}-\max\left \{ -1, -1+t \right \}= 2-\left | t \right |$$

Vậy

$$\left ( f*f \right )(t)=\left\{\begin{matrix} 2-\left | t \right |,\, |t|<2\\0,\,\, |t|\geq 2 \end{matrix} \right.=\max\left \{ 0, 2-|t| \right \}$$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]