Giải phương trình lượng giác

[nguyenvannam]

Giải phương trình: $4{\cot ^2}x + 3{\left( {1 - \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^4} = 7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungdeptrai]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

Giải phương trình: $4{\cot ^2}x + 3{\left( {1 - \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^4} = 7 $

Ta có:
$1-\frac{\cos 2x}{{\left(\sin x \right)}^{2}}=2-{\left(\cot x \right)}^{2} $
Đặt $t={\left(\cot x \right)}^{2},t\succ 0 $
PT trở thành:$4t+3{\left(2-t \right)}^{4}=7 $
$\Leftrightarrow 3{t}^{4}-24{t}^{3}+72{t}^{2}-92t+41=0 $
$\Leftrightarrow \left(t-1 \right)\left({t}^{3}-7{t}^{2}+17t-\frac{41}{3} \right)=0 $
Giải pt:${t}^{3}-7{t}^{2}+17t-\frac{41}{3}=0 $ (1)
Đặt tiếp $t=y+\frac{7}{3} $
pt (1)$\Leftrightarrow {y}^{3}+\frac{2}{3}y=\frac{20}{3} $(2)
Đặt tiếp $y=\frac{2\sqrt{2}}{3}z $
pt (2)$\Leftrightarrow 4{z}^{3}+3z=\frac{45\sqrt{2}}{2} $
Đây là phương trình bậc 3 chuẩn tắc,từ đó tìm ra t...

mình lười thật...chiều ngủ quên cả đi học...

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

gpt: $2\cos x + {\rm s\nolimits} i{\rm{n1}}9x - 5\sqrt 2 = {\rm s\nolimits} {\rm{in2}}1x - 3\sqrt 2 \sin 10x $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

Nguyên văn bởi trungdeptrai

Ta có:
$1-\frac{\cos 2x}{{\left(\sin x \right)}^{2}}=2-{\left(\cot x \right)}^{2} $
Đặt $t={\left(\cot x \right)}^{2},t\succ 0 $
PT trở thành:$4t+3{\left(2-t \right)}^{4}=7 $
$\Leftrightarrow 3{t}^{4}-24{t}^{3}+72{t}^{2}-92t+41=0 $
$\Leftrightarrow \left(t-1 \right)\left({t}^{3}-7{t}^{2}+17t-\frac{41}{3} \right)=0 $
Giải pt:${t}^{3}-7{t}^{2}+17t-\frac{41}{3}=0 $ (1)
Đặt tiếp $t=y+\frac{7}{3} $
pt (1)$\Leftrightarrow {y}^{3}+\frac{2}{3}y=\frac{20}{3} $(2)
Đặt tiếp $y=\frac{2\sqrt{2}}{3}z $
pt (2)$\Leftrightarrow 4{z}^{3}+3z=\frac{45\sqrt{2}}{2} $
Đây là phương trình bậc 3 chuẩn tắc,từ đó tìm ra t...

mình lười thật...chiều ngủ quên cả đi học...

Đổi đề lại một chút: GPT: $4{\cot ^6}x + 3{\left( {1 - \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^4} = 7 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungdeptrai]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

Đổi đề lại một chút: GPT: $4{\cot ^6}x + 3{\left( {1 - \frac{{\cos 2x}}{{{{\sin }^2}x}}} \right)^4} = 7 $

umm...bài này hình như còn nhẹ hơn bài trước
Vẫn đặt:${\cot x}^{2}=t $
Pt$\Leftrightarrow 3{t}^{4}-20{t}^{3}+72{t}^{2}-96t+41=0\Leftrightarrow {\left(t-1 \right)}^{2}\left(3{t}^{2}-14t+41 \right)=0\Leftrightarrow t=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

Chứng minh: $1+cox+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{3}cos3x+\frac{1}{4 }cos4x>0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trungdeptrai]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

Chứng minh: $1+cox+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{3}cos3x+\frac{1}{4 }cos4x>0 $

Hic...lâu rồi không post bài...
Đặt $f(x)=1+cox+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{3}cos3x+\frac {1}{4}cos4x $.
$f'(x)=-4\cos x\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2} $(sau khi biến đổi một tí)
Ta chỉ cần xét hàm trên khoảng $\left[ 0,\pi \right] $(do hàm tuần hoàn cho kì $2\pi $ và hàm luôn chẵn )
lập bảng biến thiên dễ thấy $f \left( \frac{2\pi }{5} \right) $ hoặc $f\left( \frac{4\pi }{5}\right) $ là min.Mà chúng đều $>0 $
Vậy ta có dpcm...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nguyenvannam]

Giải phương trình: $4sin^25x-4sin^2x + 2\left(sin6x+sin4x \right)+1=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[plokij]

Nguyên văn bởi nguyenvannam

gpt: $2\cos x + {\rm s\nolimits} i{\rm{n1}}9x - 5\sqrt 2 = {\rm s\nolimits} {\rm{in2}}1x - 3\sqrt 2 \sin 10x $

Chuyển vế ta được $2\cos x + {\rm s\nolimits} i{\rm{n1}}9x -{\rm s\nolimits} {\rm{in2}}1x = 5\sqrt 2- 3\sqrt 2 \sin 10x $
$VT= /2cosx -2cos20xsinx/ <= \sqrt{(2^2+2^2)(cos^2x+cos^220xsin^2x)} = \sqrt{(2^2+2^2)(1-sin^2xsin^220x)} <= 2\sqrt{2} $
$VP>=2\sqrt{2} $
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi mấy dấu "=" kia xảy ra.
P/S: HER! Đúng không ta???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Evarist Galois]

giải
a)$sin5x+\frac{1}{sinx}=2(cos4x+cos2x+1) $
b)$8cos^{4}x+sin3x=cosx+sin6x+3(sin4x+sin2x) $
c)$4sin^{2}xcos3x+cos5x+cosx=1 $
d)$tanx+2tan2x+4tan4x+8cot8x=\frac{1}{\sqrt{3}} $
e)$(2cos2x-1)(2cos6x-1)(2cos18x-1)=0 $
f)$\frac{cos2x}{sin3x}+\frac{cos6x}{sin9x}+\frac{cos9 x}{sin27x}=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]