Phương trình đa thức trong đề Greek MO 2016.

[tikita]

Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc lớn nhất bằng $1$ sao cho
$$2P(x)=Q(\frac{(x+1)^2}{2})-Q(\frac{(x-1)^2}{2}),\forall x\in\mathbb{R}\text{ và } P(1)=1.$$

Greek MO 2016

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi tikita

Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc lớn nhất bằng $1$ sao cho
$$2P(x)=Q(\frac{(x+1)^2}{2})-Q(\frac{(x-1)^2}{2}),\forall x\in\mathbb{R}\text{ và } P(1)=1.$$

Greek MO 2016

Gọi $n$ là bậc cao nhất của $Q$. Ta suy ra có bậc $2n-1$ và hệ số cao nhất của $P$ là
hệ số của $x^{2n-1}$ trong khai triển $$\frac{(x+1)^{2n}}{2^{n+1}}-\frac{(x-1)^{2n}}{2^{n+1}}.$$

Do đó $\frac{4n}{2^{n+1}}=1.$
Hay $2^n=2n$.
Suy ra $n=1$ hoặc $n=2$.

TH1: $Q(x)=x+a$ (với $a\in \mathbb{R}$), suy ra
$P(x)=x$. Các hai đa thức này đều thỏa đề.

TH2: $Q(x)=x^2+bx+c$. Suy ra
$P(x)= x^3+(b+1)x$. Suy ra $b=-1$.
Do đó các đa thức $P(x)=x^3, Q(x)=x^2-x+c$ với $c\in \mathbb{R}$ thỏa đề bài.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]