BĐT-Đánh giá từng biến-6

[MathNMN2016]

Đề bài:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $

Chứng minh rằng:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Đây là một bài toán mình cho là thú vị, mong mọi người góp ý về cách tiếp cận cho bài toán này!


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Đề bài:

Cho x, y và z là ba số thực dương, thoả mãn:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=2\left ( xy+yz+zx \right ). $

Chứng minh rằng:

$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 5. $

Hướng tiếp cận thì dễ nhưng tính toán cụ thể thì hơi cồng kềnh.
Chuẩn hóa $x+y+z=2, xy+yz+zx=1.$
Đặt $r=xyz$ và tìm miền giá trị của $r$ như ý tưởng trong vài topic khác "BĐT-Đánh giá từng biến-*" của MathNMN2016.

Đặt $P= \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ và $Q=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}.$

Ta tìm $P+Q, PQ$ theo $r$. Ta sẽ chỉ ra $P, Q\ge 5$.
Có thể kiểm tra thông qua các bất đẳng thức theo biến $r$:
$(P-5)(Q-5) \ge 0, P+Q\ge 10.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Em sẽ thử tiếp cận theo cách của anh, em giải theo cách tương tự chỉ khác ở chỗ em chỉ ra được trực tiếp $P+Q\geq \frac{21}{2} $.
... và:
Nếu giả sử ta có điều ngược lại, là P< 5. Thì suy ra phải có $Q> \frac{11}{2} $.

Bất đẳng thức này không hoàn toàn đúng, chỉ cần chỉ ra một bộ $\left ( x,y,z \right ) $ cụ thể, chẳng hạn $\left ( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right ) $ (thoả mãn giả thiết đề bài). Điều thú vị là khi đó $Q=5,25> 5,5 $ là vô lý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Thì suy ra phải có $Q> \frac{11}{2} $.

Bất đẳng thức này không hoàn toàn đúng, chỉ cần chỉ ra một bộ $\left ( x,y,z \right ) $ cụ thể, chẳng hạn $\left ( \frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{4}{3} \right ) $ (thoả mãn giả thiết đề bài). Điều thú vị là khi đó $Q=5,25> 5,5 $ là vô lý.

Bằng cách đó, ta chưa hoàn toàn c/m được $P\ge 5$.
------------------------------
Note thêm

Nguyên văn bởi Galois_vn

Hướng tiếp cận thì dễ nhưng tính toán cụ thể thì hơi cồng kềnh.
Chuẩn hóa $x+y+z=2, xy+yz+zx=1.$
Đặt $r=xyz$ và tìm miền giá trị của $r$ như ý tưởng trong vài topic khác "BĐT-Đánh giá từng biến-*" của MathNMN2016.

Đặt $P= \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ và $Q=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}.$

Ta tìm $P+Q, PQ$ theo $r$. Ta sẽ chỉ ra $P, Q\ge 5$.
Có thể kiểm tra thông qua các bất đẳng thức theo biến $r$:
$(P-5)(Q-5) \ge 0, P+Q\ge 10.$

$\begin{cases}P+Q=\frac{2}{r}-3,\\
PQ=9+\frac{1}{r^2}-\frac{4}{r}.\end{cases}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Bằng cách đó, ta chưa hoàn toàn c/m được $P\ge 5$.

Anh có thể chỉ rõ hơn cho em được không ạ?
Có chỗ nào đó chưa logic hay sao anh?


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi MathNMN2016

Anh có thể chỉ rõ hơn cho em được không ạ?
Có chỗ nào đó chưa logic hay sao anh?

Điều "P<5" chỉ mới không đúng trong trường hợp đã được chỉ ra. Chứ không phải với mọi $(x,y,z)$ thỏa đề bài thì điều "P<5" không xảy ra.

Chứng minh: $\forall (x,y,z) \in A, P\ge 5$, hay ta có thể viết lại là

Nếu $(x,y,z)\in A$ thì $P(x,y,z)\ge 5$.
Phương pháp phản chứng: với $(x,y,z)$ là bộ bất kỳ trong $ A$, giả sử $P(x,y,z)<5$. Tiếp theo ta chỉ ra điều vô lý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Em cảm ơn anh, vì vội vàng em đã mắc lỗi logic "không đáng" này.

nhưng nó cũng là một cách tiếp cận thú vị.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[MathNMN2016]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Bằng cách đó, ta chưa hoàn toàn c/m được $P\ge 5$.
------------------------------
Note thêm


$\begin{cases}P+Q=\frac{2}{r}-3,\\
PQ=9+\frac{1}{r^2}-\frac{4}{r}.\end{cases}$

Với hướng tiếp cận này em nghĩ có thể giải một cách "tương tự nhẹ nhàng" cho bài toán 7 sau đây:

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]