|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
02-06-2010, 07:19 PM | #1 |
Administrator | Biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng hai BP Chứng minh rằng nếu số nguyên tố p biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương thì biểu diễn đó là duy nhất nếu không tính đến thứ tự. |
The Following 2 Users Say Thank You to namdung For This Useful Post: | Akira Vinh HD (19-08-2012), hoangnamb (09-08-2010) |
02-06-2010, 07:40 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2009 Bài gởi: 266 Thanks: 17 Thanked 164 Times in 84 Posts | Giả sử $p=a^2+b^2=(a+ib)(a-ib) $ với $i^2=-1;a,b \in \mathbb{N} $ Nếu $a+ib,a-ib $ ko cùng là số nguyên tố gauss thì $\exist m,n \in \mathbb{Z\[\i\]} ;|m|,|n|>1 $$ : a+ib=mn \Rightarrow p=(a+ib) \overline{ (a+ib)}=m.\overline{m}.n.\overline{n}=|m|.|n| $ (Mâu thuẫn ) Và do cách biểu diễn 1 số nguyên dưới dạng tích các số nguyên tố gauss là duy nhất nên nếu $ p=c^2+d^2=(c+id)(c-id) $ thì $ c+id=a+ib $ hoặc $c+id=a-ib $=>dpcm thay đổi nội dung bởi: newbie, 02-06-2010 lúc 07:42 PM |
The Following User Says Thank You to newbie For This Useful Post: | Lan Phuog (18-07-2010) |
02-06-2010, 08:47 PM | #3 |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2008 Đến từ: Hàm Dương-Đại Tần Bài gởi: 698 Thanks: 247 Thanked 350 Times in 224 Posts | Ta xét biểu thức: $p=x^2+y^2 $(*) Để các nghiệm của (*) không bị hoán vị, mỗi cặp $(x,y) $ thõa mãn $(*) $, ta sẽ ngầm hiểu $x>y $. Trong các cặp $(x,y) $ như vậy, ta xét cặp $(a,b) $ mà ở đó $b=miny $, và ta giả sử cũng có một cặp $(c,d) $ nào khác thõa mãn (*), ngay lập tức, ta có tính chất $a>c>d>b $.Bây giờ, ta lại có tiếp $p^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $, đây là một phương trình Pitagore, nên tồn tại hai số tự nhiên $m>n $ để: $p=m^2+n^2 (1),ac+bd=2mn (2),ad-bc=m^2-n^2 (3) $ Từ (3) suy ra: Nếu $ad>m^2 \Rightarrow bc>n^2 \Rightarrow 2p^2=(a^2+d^2)+(c^2+d^2)>2(m^2+n^2) $(Vô lý) Nếu $ad<m^2 \Rightarrow b^2<bc<n^2 \Rightarrow b<n $, vậy rõ ràng $(m,n) $ là một bộ khác thõa mãn (*) và có $n<b $(Mâu thuẫn với giả thuyết $b=miny $).Như vậy $(a,b) $ là bộ duy nhất PS:Chả biết có đúng không nữa, vừa mới nghĩ ra :-ss __________________ As long as I live, I shall think only of the Victory...................... thay đổi nội dung bởi: Highschoolmath, 02-06-2010 lúc 11:33 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to Highschoolmath For This Useful Post: | Akira Vinh HD (19-08-2012), newbie (02-06-2010) |
21-06-2010, 08:21 PM | #4 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
$N=a^2+b^2=c^2+d^2 $ thì $N=[(\frac{k}{2})^2+(\frac{l}{2})^2][m^2+n^2] $ Trong đó ,$k=gcd(a-b,c-d),l=gcd(a+b,c+d) $, m,n là gì không nhớ | |
The Following User Says Thank You to Galois_vn For This Useful Post: | trungno (11-11-2013) |
21-06-2010, 08:40 PM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 78 Thanks: 5 Thanked 10 Times in 8 Posts | Có cách đơn giản hơn thì phải Điều kiện tương đương $(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b) (a>c, b>d) $ Tồn tại $m, n, p, q $ với $(n, q)=1 $ sao cho $a+c=mn, a-c=pq, d+b=mp, d-b=nq $ Suy ra p$=\frac{m^2n^2+p^2q^2+n^2q^2+m^2p^2}{4}=\frac{(m^2+ q^2)(n^2+p^2)}{4} $ Vô lí. Ta có điều phải Cm |
30-06-2010, 09:42 PM | #6 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Konoha Bài gởi: 899 Thanks: 372 Thanked 362 Times in 269 Posts | Trích:
| |
08-08-2010, 12:11 AM | #7 |
CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 86 Thanks: 4 Thanked 9 Times in 7 Posts | Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé : Định lý Fermat về tổng 2 bình phương: "Một số nguyên tố $p $ biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 bình phương khi và chỉ khi số nguyên tố ấy có dạng $4k+1 $. Cách biểu diễn ấy là duy nhất, không kể đến thứ tự của 2 số." Bài toán biểu diễn số nguyên tố dưới dạng $x^2+ny^2 $ với $n $ là số tự nhiên khác ko là 1 bài toán rất thú vị và có thể coi là con gà đẻ trứng vàng của số học cổ điển(theo ý kiến chủ quan của mình). Hôm nay hơi bận, khi nào có đủ thời gian sẽ viết về một số hiểu biết của mình về vấn đề này, trên quan điểm đại số. __________________ Abcxyz |
08-08-2010, 08:32 AM | #8 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Cái Định Lý Fermat Euler chắc không cần:"Các bạn học cấp 3 chuyên toán thử chứng minh bài sau xem nhé" đâu anh ạ.vì chắc biết hết rồi. Còn vấn đề $x^2+ny^2 $,ừ đúng là hay thật.em xin góp vài định lý về cái con gà này: Lemma1) $p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 8k+1 $ hoặc $8k+3 $thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+2y^2 $ Lemma2) $p $ là nguyên tố và $p $ có dạng $ 6k+1 $ thì tồn tại $(x,y) $ nguyên dương sao cho $p=x^2+3y^2 $ Lemma3) :pt $n=x^2+3y^2 $ giải được khi và chỉ khi mọi ược nguyên tố dạng $3k-1 $của n có số mũ chẵn P/s: ------------------------------ Thắc mắc tại sao thầy Dũng lại để topic này ở MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Lý Thuyết Số/Number Theory nhỉ? thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 08-08-2010 lúc 08:53 AM Lý do: Tự động gộp bài |
08-08-2010, 09:25 AM | #9 |
CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 86 Thanks: 4 Thanked 9 Times in 7 Posts | Úi, anh nvthanh 1994 giỏi thế, em không biết mấy cái định lý anh nêu ra đâu ạ, anh đừng gọi em là anh kẻo em xấu hổ Xem ra anh biết hết mấy chiêu của em rồi. Bây giờ em thấy cái bài toán biểu diễn số nguyên tố kiểu ấy, nó dính dáng tới cái cậu "thuận nghịch bậc 2". Anh à, anh thử triển khai phép chứng minh luật tương hỗ toàn phương Gauss cho em xem với nhé. Và anh lý giải hộ em xem tại sao 2 thứ đó liên quan đến nhau, nhớ là anh đừng bê các phép chứng minh hay lý luận ở đâu ra anh nhé, phải là phép chứng minh do anh nghĩ ra em mới phục anh ạ. Em cám ơn anh nhiều ạ , Đây, em nêu cái luật tương hỗ toàn phương ra, các bạn MS chuẩn bị chống mắt mà xem phép chứng minh của anh nvthanh nhé. "Nếu p, q là 2 số nguyên tố lẻ thì : $\left(\dfrac{p}{q}\right)\left(\dfrac{q}{p}\right) =(-1)^{\dfrac{(p-1)(q-1)}{4}} $ " Còn lý do tại sao thầy Nam Dũng để nó vào box toán ĐH và sau đại học, em nghĩ em và anh nvthanh1994 nên về nhà học thêm nữa để hiểu thêm ý thầy Dũng rồi mới kết luận anh nhé __________________ Abcxyz |
08-08-2010, 09:51 AM | #10 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2010 Bài gởi: 13 Thanks: 1 Thanked 2 Times in 2 Posts | Trích:
| |
08-08-2010, 10:02 AM | #11 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Vâng. thay đổi nội dung bởi: n.v.thanh, 08-08-2010 lúc 10:30 AM |
08-08-2010, 10:42 AM | #12 |
CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 86 Thanks: 4 Thanked 9 Times in 7 Posts | Ô hay, thế anh vào còm men mà ko trả lời gì à anh? Anh ạ, em khuyên anh là mỗi khi đứng trước vấn đề gì thì uốn lưỡi 7 lần trước khi nói kẻo nấc nhé . Rồi ko ai chữa cho đâu Đây, em ghi thêm ra đây 2 cái luật bổ sung của luật tương hỗ tòan phương Gauss: $\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p-1}{2}} $ $\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $ Thôi, trêu các bạn đủ rồi. Lần sau thì đừng bao giờ phán bài này gà, bài kia thế kia. Đủ bản lĩnh thì làm ăn cho tử tế. Kẻo các bài trao đổi của forum loãng hết. Hôm nay rep vội. Mình hứa khi có thời gian sẽ viết 1 bài tử tế về vấn đề này. Thầy Nam Dũng cho em xin lỗi vì đã làm loãng box. __________________ Abcxyz thay đổi nội dung bởi: Lệnh Hồ Xung, 08-08-2010 lúc 10:50 AM |
08-08-2010, 10:46 AM | #13 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | À,hì.em nói bài con gà này là Trích lời anh cho nó vui thôi mà.không ngờ nó gây phản cảm. |
08-08-2010, 02:38 PM | #14 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2010 Bài gởi: 11 Thanks: 0 Thanked 2 Times in 2 Posts | Trích:
$\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{2}} $ hay là $\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\dfrac{p^{2}-1}{8}} $ ?? tuổi trẻ ngông cuồng nên những phát ngôn khinh người thường hay xuất hiện mình cũng trẻ cũng chỉ bằng nvthanh1994 thôi nhưng cũng ko dám giỏi đáng sợ như bạn ấy đâu P/s: nvthanh1994 cùng lớp đó ko phải là người lạ đâu bạn nhá __________________ .................................................. | |
The Following User Says Thank You to nevergiveup For This Useful Post: | Lệnh Hồ Xung (08-08-2010) |
08-08-2010, 04:57 PM | #15 |
CÁI BANG Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 86 Thanks: 4 Thanked 9 Times in 7 Posts | Ừ, anh sai. Chính xác là 8 chứ không phải là 2. Rep vội. __________________ Abcxyz |
Bookmarks |
|
|