Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Hình Học

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 07-07-2010, 05:35 AM   #1
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Hai công thức đẹp nhất về thể tích tứ diện

Hồi còn học THPT, thầy mình từng nói là trong hình học không gian, hai công thức đẹp nhất về thể tích tứ diện chính là:
(1) Công thức tính thể tích tứ diện theo các cạnh (có thể hiểu là công thức Heron cho tứ diện), tức là cho trước độ dài 6 cạnh của một tứ diện, tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh đó.
(2) Công thức Crelle: S = 6VR, trong đó V là thể tích tứ diện, R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và S là diện tích tam giác có các cạnh là tích các cặp cạnh đối diện.

Về c/m công thức thứ (2), mình tìm được cách chứng minh trong rất nhiều tài liệu như "Các bài toán về HHKG" của Praxolov, "Ẩn sau định lí Ptoleme" của PGS.TS. Lê Quốc Hán,...trong đề thi Olympic 30-4 cũng có sự xuất hiện của nó nữa.
Nhưng công thức thứ (1) thì quả là hiếm thật, một biểu thức dưới dấu căn dài đến hai dòng, sự đối xứng giữa các cạnh chéo nhau và giữa các cạnh kề nhau làm cho biểu thức thật đẹp. Mình đã từng chứng minh được nó bằng một ý tưởng rất đơn giản ( tính diện tích một mặt đáy, tính độ dài đường cao tương ứng bằng công thức vectơ) nhưng biến đổi dài đến 2 trang giấy! Mình nghĩ biểu thức đẹp như thế thì cũng phải có một lời giải đẹp hay ít ra là phải có một lời giải tương đối đơn giản cho nó.

Mong được các bạn giúp đỡ!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010), Trànvănđức (17-12-2012)
Old 07-07-2010, 11:32 AM   #2
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
Hồi còn học THPT, thầy mình từng nói là trong hình học không gian, hai công thức đẹp nhất về thể tích tứ diện chính là:
(1) Công thức tính thể tích tứ diện theo các cạnh (có thể hiểu là công thức Heron cho tứ diện), tức là cho trước độ dài 6 cạnh của một tứ diện, tính thể tích tứ diện theo 6 cạnh đó.
Công thức đó là như thế nào anh có thể nói ra được hem
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010), Trànvănđức (17-12-2012)
Old 16-11-2010, 03:31 AM   #3
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Công thức đó là như thế nào anh có thể nói ra được hem
À, công thức này cụ thể như sau:


$V=\frac{1}{12} \sqrt{AB^2.CD^2(AC^2+AD^2+BC^2+BD^2-AB^2-CD^2)+} \\ \sqrt{+AC^2.BD^2(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2)+} \\ \sqrt{+AD^2.BC^2(AB^2+BD^2+CD^2+AC^2-AD^2-BC^2)} \\ \sqrt{-(AB^2.BC^2.CA^2+AD^2.DC^2.CA^2+AB^2.BD^2.DA^2+BC^2 .CD^2.DB^2)} $

Công thức này có thể chứng minh theo hướng mình đã nêu ở trên hoặc có thể dựa vào công thức Crelle.
Mong rằng đọc công thức này, các bạn có thể hiểu quy luật của biểu thức (chú ý rằng không có tích nào chứa cả 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh).
Trong trường hợp tứ diện đều hoặc gần đều, các bạn hoàn toàn có thể tính đúng đắn của biểu thức.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010)
Old 16-11-2010, 01:33 PM   #4
xuanquan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Mar 2010
Bài gởi: 44
Thanks: 64
Thanked 26 Times in 12 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang View Post
À, công thức này cụ thể như sau:


$V=\frac{1}{12} \sqrt{AB^2.CD^2(AC^2+AD^2+BC^2+BD^2-AB^2-CD^2)+} \\ \sqrt{+AC^2.BD^2(AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-AC^2-BD^2)+} \\ \sqrt{+AD^2.BC^2(AB^2+BD^2+CD^2+AC^2-AD^2-BC^2)} \\ \sqrt{-(AB^2.BC^2.CA^2+AD^2.DC^2.CA^2+AB^2.BD^2.DA^2+BC^2 .CD^2.DB^2)} $

Công thức này có thể chứng minh theo hướng mình đã nêu ở trên hoặc có thể dựa vào công thức Crelle.
Mong rằng đọc công thức này, các bạn có thể hiểu quy luật của biểu thức (chú ý rằng không có tích nào chứa cả 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh).
Trong trường hợp tứ diện đều hoặc gần đều, các bạn hoàn toàn có thể tính đúng đắn của biểu thức.
bạn có thể xem lại công thức này được không? hình như là có một chỗ sai...:S
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
xuanquan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to xuanquan For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010), starfish74 (20-02-2012)
Old 16-11-2010, 02:14 PM   #5
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,186 Times in 1,380 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Trích:
Nguyên văn bởi xuanquan View Post
bạn có thể xem lại công thức này được không? hình như là có một chỗ sai...:S
Ủa, mình dò kĩ lắm rồi mà, sai ở chỗ nào bạn chỉ giúp với! À, ở đây chú ý là dấu căn là của cả 4 dòng luôn, do biểu thức quá dài nên phải chia ra như thế cho dễ xem.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010), xuanquan (16-11-2010)
Old 16-11-2010, 08:23 PM   #6
Conan Edogawa
+Thành Viên+
 
Conan Edogawa's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM
Bài gởi: 397
Thanks: 136
Thanked 303 Times in 150 Posts
Em chỉ mới biết cm trong trường hợp tứ diện gần đều àh
Cho tứ diện SABC có $SA=BC=a, SB=CA=b, SC=AB=c $. Chứng minh ${{V}_{SABC}}=\frac{1}{12}\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2 }}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}})} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Conan Edogawa is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post:
abctom123 (29-11-2010), IMO 2010 (28-11-2010)
Old 26-04-2017, 01:13 AM   #7
dangnamneu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 15
Thanks: 14
Thanked 13 Times in 8 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Conan Edogawa View Post
Em chỉ mới biết cm trong trường hợp tứ diện gần đều àh
Cho tứ diện SABC có $SA=BC=a, SB=CA=b, SC=AB=c $. Chứng minh ${{V}_{SABC}}=\frac{1}{12}\sqrt{2({{a}^{2}}+{{b}^{2 }}-{{c}^{2}})({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}})({{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}})} $
Xem thêm bài viết mình tổng hợp ở đây: [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
dangnamneu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 01:10 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2019, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 70.27 k/79.23 k (11.31%)]