Topic giải bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng tính chất hàm số,đạo hàm.

[CTK9]

Như đã nói, mình sẽ đưa ra lời giải cho bài toán trên. Thực sự thì bài 26 không khác mấy với bài 2 nhưng vì có cách tiếp cận khác nên mình sẽ đưa ra đây chi tiết:
Tìm min, ta có:
\[a^3 + \alpha^3 + \alpha^3 \geq 3\alpha^2a\]
\[b^3 + \beta^3 + \beta^3 \geq 3\beta^2b\]
\[c^3 + \gamma^3 + \gamma^3 \geq 3\gamma^2c\]
Để ý rằng dấu bằng của ba đẳng thức trên xảy ra khi $a = \alpha, b = \beta, c = \gamma$ và theo đẳng thức đầu bài thì $a + b + 2c = 6$ nên ta sẽ cần có $\alpha + \beta + 2\gamma = 6$ và các số $\alpha, \beta, \gamma$ ta chọn làm điểm rơi cũng 'tỷ lệ' như là bộ số $a, b, c$ vậy, cụ thể là ta phải có:
\[\alpha = \beta, \alpha + \beta + 2\gamma = 6, 2\alpha^2 = 2\beta^2 = \gamma^2\]
Giải hệ này ta được: $\alpha = \beta = \dfrac{3}{\sqrt{2}+1}, \gamma = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} $
Tìm max:
Lời giải 1: dồn biến
Ta cm: $P(a, b, c) \leq P(1, a+b-1,c)$
Thật, vậy biến đổi ta được: $(a-1)(b-1) \geq 0$, đúng do điều kiện đề bài.
Mà $P(1, a+b-1, c) = 1+ (5-2c)^3 +c^3 = -7c^3+60c^2-150c-126$.
Công việc còn lại là khảo sát hàm số này. Đơn giản.
Lời giải 2: dựa vào phân tích Abel
Do ta đã dự đoán điểm rơi là $(a, b, c)$ = (1,3,1) hoặc (3,1,1) nên trước hết ta cm: với $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện đề ra thì: $a^2 + b^2 + c^2 \leq 11$
Đặt $x = a-1, y = b-1, z = c-1$ thì $x, y, z \in [0,2]$ và $x +y + 2z = 2$. Do vai trò bình đẳng của $a,b$ nên ta giả sử $a \geq b$ hay $x \geq y$
Ta có: $a^2 + b^2 + c^2 \leq 11
\iff x^2+y^2+z^2+x+y\leq 6$. Mà:
$x^2+y^2+z^2+x+y = (x+1)x + (y+1)y+\dfrac{z}{2}2z = (x-y)x+(y+1-\dfrac{z}{2})(x+y)+\dfrac{z}{2}(x+y+2z)\leq 2(x-y) + 2(y+1-\dfrac{z}{2}) + \dfrac{z}{2}2 = 2x+2 \leq 6$ (chú ý: $x \geq y, y+1- \dfrac{z}{2}\geq 0, x + y+2z =2$)
Tiếp theo ta cm: $a^3 + b^3 + c^3 \leq 29$. Ta có:
$a^3 + b^3 + c^3 = (a-b)a^2 + (b-c)(a^2 +b^2)+c(a^2 + b^2 + c^2)\leq(x-y)(x+1)^2 + (y-z)((x+1)^2 + (y+1)^2)+ 11(z+1)$(do$a^2 + b^2 + c^2 \leq 11$)
Đến đây chú ý $(x+1)^2 \leq 9, (x+1)^2+(y+1)^2\leq 10$, xét hai trường hợp $y\leq z$, $y\geq z$ và chú ý$x+y+2z = 2$, ta có đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]