Thảo luận về "60 bài hệ phương trình"

[Ng_Anh_Hoang]

Bác TrauBo chưa xử bài này thì tớ làm luôn
$$21x-25+2\sqrt{x+2}=19\sqrt{x^2-x-2}+\sqrt{x+1}$$
Đặt $a=\sqrt{x+2}; b=\sqrt{x-1}$ ta được:
$$\begin{cases} \dfrac{46}{3}a^2+\dfrac{17}{3} \\ b^2+2a=19ab+b\ (1) b^2-a^2=3\ (2) \end{cases} $$
Coi (1) là PT theo a, có $\triangle=(11b-6)^2$. Vậy là xong

Nhưng mọi chuyện không đơn giản như thế
Ở đây ta thấy cái PT (2) quá vô dụng. Nhưng nếu có 1 HPT mà $\triangle$ của (1) không chính phương thì ta phải dùng thêm (2) nữa. Ý tưởng giống bạn tanggo. Nhưng ta sẽ không nhân (2) cho $\alpha$ mà có thể "cài" kiểu khác:
Đặt $21x-25=a.u^2+b.v^2+c$ với $u=\sqrt{x-2} ; b=\sqrt{x+1}$
$\Rightarrow \begin{cases} 21=a+b \\ -25=-2a+b+c \end{cases}$
Từ PT đầu suy ra:
$$au^2+bv^2+c=2u-19uv+v \Leftrightarrow a.u^2+(2-19v).u+bv^2+c-v=0 $$
Có $\triangle = (361-4ab).v^2+2(2a-38).v+4-4ac$
Ta cần $\triangle$ là số chính phương nên xét tiếp delta của delta
Tức là $$\triangle_{\triangle}=0 \Leftrightarrow 4(a-19)^2-4(1-ac)(361-4ab)=0$$
Tính $b, c$ theo $a$ và giải PT trên được $a \in \{ 6; \dfrac{46}{3}; 15 \}$

Như vậy có rất nhiều cách để giải bài trên chứ không chỉ là hi vọng $\triangle$ chính phương (nó không chính phương thì ta làm nó chính phương )
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Ok. Chủ đề này xong chưa nhỉ? Hay Huy đưa thêm chủ đề mới lên để mọi người theo dõi tiếp nhé.
À, còn cái hệ chưa giải
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi tanggo

Ok. Chủ đề này xong chưa nhỉ? Hay Huy đưa thêm chủ đề mới lên để mọi người theo dõi tiếp nhé.
À, còn cái hệ chưa giải

Thêm 24g nữa đi bạn. TrauBo muốn chờ ý kiến của anh Lữ
Chủ đề 2 sẽ là những bài tiếp theo, liên quan đến đặt ẩn phụ tổng - hiệu nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nhatnippro]

Lời giải bài 4 của bạn TrauBo đưa ra không phải là "tà đạo" cũng chẳng phải là "khủng" đâu. Thật ra có một phép đặt cho những bài hệ tương tự để đưa về hệ đối xứng, thường là loại (I). Đây là lời giải hệ số bất định của mình cho bài 4:
Đặt $\left\{ \begin{align}
& a=ux+vy \\
& b=vx-uy \\
\end{align} \right.$
Suy ra: $\left\{ \begin{align}
& ab=uv({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+({{v}^{2}}-{{u}^{2}})xy \\
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=({{u}^{2}}+{{v}^{2}})({{x}^{2} }+{{y}^{2}}) \\
\end{align} \right.$
Hệ phương trình được viết lại:
$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{1}{5} \\
& 2({{x}^{2}}-{{y}^{2}})+3x+y+3xy-\frac{47}{25}=0 \\
\end{align} \right.$
Đồng nhất hệ số ta có :
$\left\{ \begin{align}
& uv=2 \\
& {{v}^{2}}-{{u}^{2}}=3 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& u=1 \\
& v=2 \\
\end{align} \right.$

Như vậy ta đặt $a=x+2y$, $b=2x-y$
Khi đó ta có hệ đối xứng : $\left\{ \begin{align}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& a+b+ab-\frac{47}{25}=0 \\
\end{align} \right.$

Cách đặt này hồi đó anh Phúc Lữ chỉ mình, nay mới thấy nó hiệu quả

---------------------------------
Mình đã thử áp dụng cách đặt trên vào bài 5 và 6 thì thấy khá hiệu quả. Cụ thể mình xin trình bày lời giải bài 5 các bạn cho nhận xét:
Đặt $\left\{ \begin{align}
& x=ua+vb \\
& y=va-ub \\
\end{align} \right.$
Thay vào hệ

hơi trâu bò một tí

ta được:
$\left\{ \begin{align}
& {{a}^{3}}({{u}^{3}}+3u{{v}^{2}})+{{b}^{3}}({{v}^{3 }}+3{{u}^{2}}v)+{{a}^{2}}b(3{{v}^{3}}-3{{u}^{2}}v)+a{{b}^{2}}(3{{u}^{3}}-3u{{v}^{2}})=-49 \\
& {{a}^{2}}({{u}^{2}}-8uv+{{v}^{2}})+{{b}^{2}}({{v}^{2}}+8uv+{{u}^{2}})+ 8ab({{u}^{2}}-{{v}^{2}})=-9ua-25vb \\
\end{align} \right.$
Ta sẽ đồng nhất hệ số sao cho hệ số của ${{a}^{2}}b$, $a{{b}^{2}}$ và $ab$ bằng 0 để có thể đưa về như dạng bài 1,2 và 3:
$\left\{ \begin{align}
& 3{{v}^{3}}-3{{u}^{2}}v=0 \\
& 3{{u}^{3}}-3u{{v}^{2}}=0 \\
& {{u}^{2}}-{{v}^{2}}=0 \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& u=v \\
& u=-v \\
\end{align} \right.$
Do $u=v$ hay $u=-v$ đều có cùng cách đặt nên ta chọn $u=v$ =1 ( mình nghĩ chọn bằng mấy cũng giải ra thôi không nhất thiết phải bằng 1)
Vậy ta đặt $x=a+b$, $y=a-b$ ta có hệ:
$\left\{ \begin{align}
& 4{{a}^{3}}+4{{b}^{3}}=-49 \\
& -6{{a}^{2}}+10{{b}^{2}}=-9a-25b \\
\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& 8{{a}^{3}}+8{{b}^{3}}=-98 \\
& 6{{a}^{2}}-9a=10{{b}^{2}}+25b \\
\end{align} \right.$
Đây là một dạng quen thuộc, lấy phương trình thứ nhất cộng phương trình thứ hai nhân (-6)
$\Rightarrow {{(2a-3)}^{3}}={{(-2b-5)}^{3}}$$\Leftrightarrow 2a-3=-2b-5$$\Leftrightarrow a=-b-1$....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Cảm ơn các bạn nhiều. Do thời gian có hạn nên chúng ta sẽ qua chủ đề 2 luôn. PP hệ số bất định còn rất nhiều bài "tà đạo" cần thảo luận, các bạn có thể vào đây
[Only registered and activated users can see links. ]

Coi mấy cái này cứ như đi tìm kho báu ấy

TrauBo xin tổng kết lại những điều chúng ta đã và chưa đạt được (để qua topic kia phấn đấu tiếp )

1) Dấu hiệu để nhận biết một hệ 2 phương trình bậc 2 (có chứa $xy$) có thể đưa về một phương trình bậc 2 theo $ax+by$?

---> Nhân (1) cho $\alpha$, (2) cho $\beta$, lấy $\alpha$ làm nhân tử chung, bên trong ngoặc nhóm các hạng tử bậc 2 lại. Thử đồng nhất hệ số với hạng tử bậc nhất $\beta(ax+by)$ bên ngoài
---> Có bài làm được có bài không

2) Ở bài 5, 6 ta chọn $\alpha$ dựa trên tiêu chí nào để có thể phân tích về $(x+1)[ (x+1)^2+3(y-4)^2]=0$?

---> Chưa có lời giải. Bạn nhatnippro đưa ra ý kiến là đoán nghiệm của hệ từ đó đồng nhất hệ số
---> Không hiệu quả với hệ không có nghiệm nguyên. Nhưng ta có 1 hướng đi khác là "chính phương hoá" delta

3) Có tồn tại phép đặt $\begin{cases} x=au+bv \\ y=cu+dv \end{cases}$

---> Khả thi. Theo cách của anh Lữ chúng ta đặt $a=ux+vy;\ b=vx-uy$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cakiem]

Vậy hướng đi của bài 6 là như thế nào vậy?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi cakiem

Vậy hướng đi của bài 6 là như thế nào vậy?

Có 2 hướng đi nè bạn. Một là cách xét delta giống bài 5 (TrauBo đã nêu ở post đầu). Hai là đặt ẩn phụ giống bạn nhatnippro. Bạn xem kĩ sẽ thấy nó hay

Chúng ta bước qua

Chủ đề 2: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TỔNG - HIỆU
(Bài 7, 7.1)

Ở đây ý tưởng đã quá rõ ràng. Chú ý một số hằng đẳng thức như $x^2-xy+y^2=\dfrac{(x+y)^2+3(x-y)^2}{4}$ hay $x^2+xy+y^2=\dfrac{3(x+y)^2+(x-y)^2}{4}$. Từ đó với $a=x+y, b=x-y$ là lượng liên hợp, ta có thể thu được nhiều điều kì diệu

Bài tập trong file chỉ có 2 bài. Vì vậy nên chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận về cách đặt $a=ux+vy;\ b=vx-uy$ của anh Lữ. Rất mong hai bạn tanggo và nhatnippro tiếp tục thảo luận . Ai có bài nào hay dùng PP này post lên nhé. Cái này nhóm đặt ẩn phụ sẽ lo

Phần này TrauBo định làm riêng mà không ngờ nó lại dính vô hệ số bất định luôn rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Bài 7: $\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=xy+x+y &(1) \\
x^2-y^2=3 &(2)
\end{matrix}\right. $
Ta có thể làm thẳng như thế này:
Lấy $(1)+(2): 2x^2=xy+x+y+3 $
$\Rightarrow 2(x-1)(x+1)=(x+1)(y+1) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cakiem]

Vậy không có chuyên đề 2 sao???Thấy topic bị chìm quá!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

Nguyên văn bởi cakiem

Vậy không có chuyên đề 2 sao???Thấy topic bị chìm quá!

À đúng là chìm thật, không có người tham gia thì chịu thôi
Hiện giờ TrauBo đang xử cái HSBĐ bên topic của anh huynhcongbang và batigoal. Bạn qua đó tham gia luôn nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Trầm]

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}x^2y^2-2x+y-1=0\\2x^2+y^2-4x-5=0\end{cases}$$
Bài này có trong tuyển tập 60 bài đó nhưng vẫn chưa được trình bày lời giải. Bạn nào có lời giải hay thì đóng góp nhé
Lỡ rồi, không theo chủ đề luôn vậy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hungchng]

Nguyên văn bởi tanggo

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases}x^2y^2-2x+y-1=0\\2x^2+y^2-4x-5=0\end{cases}$$
Bài này có trong tuyển tập 60 bài đó nhưng vẫn chưa được trình bày lời giải. Bạn nào có lời giải hay thì đóng góp nhé
Lỡ rồi, không theo chủ đề luôn vậy

Bài này tìm được 2 nghiệm là $(x,y)=(1+\sqrt3; -1), (1-\sqrt3; -1)$ .
Còn 2 nghiệm chưa tìm được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[cakiem]

Bài 7 cũng làm theo hsbđ được:Cộng 2 PT lại ta được
$2x^2=xy+x+y+3
\Rightarrow \Delta =(y+5)^2 $
Đến đây ok rồi
------------------------------

Nguyên văn bởi TrauBo

À đúng là chìm thật, không có người tham gia thì chịu thôi
Hiện giờ TrauBo đang xử cái HSBĐ bên topic của anh huynhcongbang và batigoal. Bạn qua đó tham gia luôn nhé

Mình thấy topic này rất hay,moị người tham gia nhiệt tình đi!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[TrauBo]

TrauBo vẫn đang nghiên cứu tài liệu này, nếu thấy gì hay sẽ đưa lên cho mọi người thảo luận nhé
Trong thời gian chờ đợi, tại sao chúng ta không hoàn thiện những bài tập chưa có lời giải nhỉ?

** Bài 21: $\begin{cases} a(a+b)=3 \\ b(b+c)=30 \\ c(c+a)=12 \end{cases}$

** Bài 27: $\begin{cases} x^2-y^2-y=0 \\ x^2+xy+x=1 \end{cases}$

** Bài 31: $\begin{cases} x^3y(1+y)+x^2y^2(y+2)+xy^3=30 \\ x^2y+x(1+y+y^2)+y-11=0 \end{cases}$

** Bài 33: $\begin{cases} 2+6y+\sqrt{x-2y}=\dfrac{x}{y} \\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2 \end{cases}$

** Bài 40: $\begin{cases} x^2+y^2+2y=4 \\ (x^2+xy)(y+1)+x=6 \end{cases}$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[duccleverboy]

Nguyên văn bởi TrauBo

TrauBo vẫn đang nghiên cứu tài liệu này, nếu thấy gì hay sẽ đưa lên cho mọi người thảo luận nhé
Trong thời gian chờ đợi, tại sao chúng ta không hoàn thiện những bài tập chưa có lời giải nhỉ?

** Bài 33: $\begin{cases} 2+6y+\sqrt{x-2y}=\dfrac{x}{y} \\ \sqrt{x+\sqrt{x-2y}}=x+3y-2 \end{cases}$

ĐKXĐ: $x\geq 2y $ và $y\neq 0 $
Ta biến đổi phương trình (1) như sau

$(1)\Leftrightarrow 6y^2+y\sqrt{x-2y}-(x-2y)=0 $

$\Leftrightarrow \left ( 3y-\sqrt{x-2y} \right )\left ( 2y+\sqrt{x-2y} \right )=0 $

*Với $\sqrt{x-2y}=3y $ ($y\geq 0 $).Thay vào phương trình (2) ta được:

$\sqrt{x+3y}=x+3y-2\Leftrightarrow \sqrt{x+3y}=2 $

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=4
& \\ 9y^2+2y=x
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}9y^2+2y=4-3x
& \\ x=4-3y
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=\dfrac{4}{9}
& \\ x=\dfrac{8}{3}
&
\end{matrix}\right. $

*Với $\sqrt{x-2y}=-2y $ ($y\leq0 $).Thay vào phương trình (2) ta có:

$\sqrt{x-2y}=x+3y-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-2y=x+3y-2
& \\4y^2+2y=x
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4y^2+2y=-5y+2
& \\ x=-5y+2
&
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-2
& \\ x=12
&
\end{matrix}\right. $

Vậy hệ có nghiệm $ \left ( x;y \right ) $ là $\left ( \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{9} \right ) $ và $\left ( 12;-2 \right ) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]