Topic hình học phẳng I

[G-Dragon]

Nguyên văn bởi conami

Giúp em bài trên với mọi người ơi.
Tiện cho em hỏi bài luôn, cũng khá khó:
Bai:Tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp $(O) $ ,$A_{1},B_{1},C_{1} $ là các trung điểm $BC,CA,AB $. Trên $OA_{1} $ lấy $A_{2} $ sao cho $\triangel OAA_{1} $ và $\triangel OA_{2}A $ đồng dạng. Tương tự lấy các điểm $B_{2},C_{2} $. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2} $ đồng quy

kẻ AH vuông góc BC mà $\angle OA_1A=\angle HAA_1 $ ( 2 góc so le trong )

theo giả thiết $\triangel OAA_{1} $ và $\triangel OA_{2}A $ đồng dạng cho nên $\angle OA_1A=\angle GAO $

suy ra $\angle HAA_1=\angle GAO $

mặt khác $\angle CAH=\angle OAB=90-C $ cho nên $\angle GAC=\angle A_1AB $

tức GA là đường đối trung suy ra nó đồng quy với các đường đối trung còn lại.


------------------------------

Nguyên văn bởi conami

Tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp $(O) $ ,$A_{1},B_{1},C_{1} $ là các trung điểm $BC,CA,AB $. Trên $OA_{1} $ lấy $A_{2} $ sao cho $\triangel OAA_{1} $ và $\triangel OA_{2}A $ đồng dạng. Tương tự lấy các điểm $B_{2},C_{2} $. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2} $ đồng quy

Có cách này không cần dùng đường đối trung :



Từ giả thiết thì $OA_1.OA_2=OA^2=OB^2 $ cho nên theo tính chất hệ thức lượng trong tam giác ta có $A_2B $ vuông góc $OB $ suy ra $A_2B $ là tiếp tuyến của $(O) $ tại $B $

tương tự $A_2C $ cũng là tiếp tuyến.

tương tự với các tiếp tuyến từ $C_2 $ và $B_2 $

ta được đường tròn (O) chính là đường tròn nội tiếp $A_2B_2C_2 $ với các tiếp điểm là $A_1,B_1,C_1 $

do $A_2B=A_2C , B_2A=B_2C,C_2A=C_2B $ theo định lí Ceva :

$\frac{AB_2}{AC_2}.\frac{BC_2}{BA_2}.\frac{CA_2}{CB _2} =1 $



hay $A_2A_1, B_2B_1,C_2C_1 $ đồng quy


điểm đồng quy còn gọi điểm Gergonne của tam giác $A_2B_2C_2 $

còn đối với tam giác $ABC $ thì nó là điểm Lemoine

Mod: Viết hoa đầu câu bạn nhé. Bài viết không có lấy một dấu chấm. Lần sau thì mình sẽ xóa bài đấy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]