Topic hình học phẳng I

[yeu]

[QUOTE=yeu;88901]1) Cho đường tròn $\left( {0,r} \right) $, và 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.Một điểm M di dộng trên đường tròn , I là hình chiếu của M trên CD , P là giao điểm của AI và OM .Tìm quỹ tích điểm P

Chọn hệ trục tọa độ xoy trong đó
$0\left( {0,0} \right),B\left( {r,0} \right),M\left( {rc{\text{os}}\phi ,r\sin \phi } \right),\phi \in \left[ {0,2\pi } \right],A\left( { - r,0} \right),C\left( {0, - r} \right),D\left( {0,r} \right) $
Phương trình đường thẳng CD: $x = 0 $
Phương trình đường thẳng IM: $y = r\sin \phi $
I là giao điểm của IM và CD $\Rightarrow I\left( {0,r\sin \phi } \right) $
Phương trình đường thẳng OM:$\frac{x}{{rc{\text{os}}\phi }} = \frac{y}{{r\sin \phi }} $
Phương trình đường thẳng AI:$\frac{{x + r}}{r} = \frac{y}
{{r\sin \phi }} $
$P\left( {x,y} \right) $ là nghiệm của hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{gathered}\frac{x}
{{rc{\text{os}}\phi }} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\\frac{{x + r}}{r} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x + y = \frac{{r\left( {\sin \phi + c{\text{os}}\phi }\right)}}{{1 - c{\text{os}}\phi }} $
vậy quỹ tích điểm P là đường thẳng có phương trình
$x + y = \frac{{r\left( {\sin \phi + c{\text{os}}\phi } \right)}}
{{1 - c{\text{os}}\phi }} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Hỏi mọi người một bài trong đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Chứng minh nếu các đường thẳng qua A // B'C', qua B//C'A', qua C // A'B' đồng quy thì các đường thẳng qua A' // BC, qua B'//CA, qua C' // AB cũng đồng quy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi conami

Hỏi mọi người một bài trong đề thi HSG tỉnh Thanh Hoá
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Chứng minh nếu các đường thẳng qua A // B'C', qua B//C'A', qua C // A'B' đồng quy thì các đường thẳng qua A' // BC, qua B'//CA, qua C' // AB cũng đồng quy

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[khaitang1234]

Cho tam giác $ABC $ và một đường tròn bất kỳ $(O) $. Gọi $O_{1} $ là đường tròn tiếp xúc với $AB;AC $ và tiếp xúc với $(O) $ tại $X $.Tương tự ta lấy các điểm $Y,Z $. Chứng minh rằng $AX;BY;CZ $ đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi yeu

$P\left( {x,y} \right) $ là nghiệm của hệ phương trình sau
$\left\{ \begin{gathered}\frac{x}
{{rc{\text{os}}\phi }} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\\frac{{x + r}}{r} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x + y = \frac{{r\left( {\sin \phi + c{\text{os}}\phi }\right)}}{{1 - c{\text{os}}\phi }} $
vậy quỹ tích điểm P là đường thẳng có phương trình
$x + y = \frac{{r\left( {\sin \phi + c{\text{os}}\phi } \right)}}
{{1 - c{\text{os}}\phi }} $

Bài này dùng tọa độ là tốt nhất rồi vì đường cong quỹ tích quả thật khó mà dùng hình thuần túy được.
Tuy nhiên, phương trình cuối cùng cần phải không phụ thuộc vào giá trị của góc thay đổi.
Chỉnh sửa lại chút là:
$\left\{ \begin{gathered}\frac{x}{{rc{\text{os}}\phi }} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\\frac{{x + r}}{r} = \frac{y}{{r\sin \phi }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \tan \phi = \dfrac{y}{x} \\ \sin\phi = \dfrac{y}{x+r} \end{matrix}\right. $
Suy ra:
$\tan^2 \phi = \frac{\sin^2 \phi}{1-\sin^2 \phi} \Rightarrow \dfrac{y^2}{x^2} = \frac{\dfrac{y^2}{(x+r)^2}}{1- \dfrac{y^2} {(x+r)^2}} \Leftrightarrow x^2 = (x+r)^2 - y^2 \Leftrightarrow y^2 = 2xr + r^2 $

(Các điều kiện xác định của những biểu thức sẽ được xét riêng ).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi yeu

2)Cho 2 điểm A,B cố định và đường thẳng d không song song với AB.Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC với C là một điểm thay đổi trên đường thẳng d

Quỹ tích và dựng hình
3) Khoảng cách từ điểm A tới một hình H là giá trị bé nhất của các độ dài AM , với $ M \in H $.Khoảng cách đó ký hiệu là $d\left( {A,H} \right) $
Giải bài toán sau
Cho hai đường tròn phân biệt C và C' ,tìm quỹ tích những điểm M sao cho $d\left( {M,C} \right) = d\left( {M,C^' } \right) $

4) Cho tam giác ABC .Dựng đường thẳng d đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B , C tới d là lớn nhất.

Bài 2 thì bắt buộc phải dùng tọa độ rồi vì trong trường hợp d song song với AB thì quỹ tích đã là 1 hyperbol có trục thực vuông góc với AB.
Bài 3 thì chứng minh điểm có khoảng cách ngắn nhất đến M chính là giao điểm N của MO với (O). Thật vậy, gọi N' là điểm bất kì trên (O).
Theo BĐT tam giác thì $ON'+N'M \ge OM = ON + NM \Rightarrow N'M \ge NM $.
Do đó bài này có thể phát biểu gọn chút là:
Cho hai đường tròn (O) và (O'), M bất kì. Gọi N, N' lần lượt là giao điểm của OM, O'N với (O), (O'). Tìm tất cả các điểm M sao cho $MN = MN' $.
Bài này tọa độ cũng dễ nhỉ.

Bài 4 thì có thể dùng phương pháp diện tích:
Mình xét riêng trường hợp đường thẳng d trong đề bài cắt BC.
Gọi M là giao điểm của d và BC và $d_1, d_2 $ lần lượt là khoảng cách từ B, C đến d. Ta có:
$S_{ABC} = S_{MAB} + S_{MAC} = \frac{1}{2}.MA.(d_1+d_2) \Rightarrow d_1+d_2 = \frac{2S_{ABC}}{MA} $.
Do đó, tổng này lớn nhất khi MA nhỏ nhất và đạt được khi đó là đường cao của tam giác ABC.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Cho tam giác $ABC.AB=c,BC=a,CA=b $, diện tích tam giác $ABC $ bằng $S $. Chứng minh
$\cot A =\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4S} $
Đây là bài toán phụ dùng để chứng minh 1 kết quả quen thuộc về điểm Brocard. Nhờ các sư huynh trên đây gợi ý hướng giải(Chỉ giới hạn đến kiến thức lớp 9)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ino_chan]

Cho đường tròn tâm O . M là điểm nằm ngoài đường tròn, từ M ta kẻ các tiếp tuyến MA và MB , cát tuyến MPQ. Kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn OA cắt AQ tại S. Gọi giao điểm của AB với SP là R.
CMR : SR = RP
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Nguyên văn bởi Ino_chan

Cho đường tròn tâm O . M là điểm nằm ngoài đường tròn, từ M ta kẻ các tiếp tuyến MA và MB , cát tuyến MPQ. Kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn OA cắt AQ tại S. Gọi giao điểm của AB với SP là R.
CMR : SR = RP

Đường vuông góc với OA tại đâu thế bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ino_chan]

Nguyên văn bởi conami

Đường vuông góc với OA tại đâu thế bạn

cái đó có quan trọng đâu, quan trọng là nó cắt AQ tại S kìa
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Nguyên văn bởi Ino_chan

cái đó có quan trọng đâu, quan trọng là nó cắt AQ tại S kìa

Bạn conami nói đúng ý: đâu có bằng nhau đâu nhỉ


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Ino_chan]

à, xin lỗi các bạn nhé
mình type thiếu
từ P kẻ đg` thẳng vuông góc với OA cắt AQ tại S
đó, đề bài là vầy đó
mình thành thực xin lỗi các bạn nha
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[phantiendat_hv]

Nguyên văn bởi Ino_chan

Cho đường tròn tâm O . M là điểm nằm ngoài đường tròn, từ M ta kẻ các tiếp tuyến MA và MB , cát tuyến MPQ. Kẻ đường thẳng vuông góc với đoạn OA cắt AQ tại S. Gọi giao điểm của AB với SP là R.
CMR : SR = RP

+)Ta có $AB $ là đường đối cực của $M $, Mà cát tuyến $MPQ $ cắt $AB $ tại $K $ $\Rightarrow $ $M, P, K, Q $ lập thành hàng điểm điều hòa. Nên $AQ, AK, AP, AM $ là một chùm điều hòa.
+) Ta lại có $PR\perp AO $ nên ${PS} $ // ${AM} $ Nên theo tính chất hàng điểm điều hòa $\Rightarrow $ $RS=RP $


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[conami]

Nguyên văn bởi conami

Cho tam giác $ABC.AB=c,BC=a,CA=b $, diện tích tam giác $ABC $ bằng $S $. Chứng minh
$\cot A =\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4S} $
Đây là bài toán phụ dùng để chứng minh 1 kết quả quen thuộc về điểm Brocard. Nhờ các sư huynh trên đây gợi ý hướng giải(Chỉ giới hạn đến kiến thức lớp 9)

Giúp em bài trên với mọi người ơi.
Tiện cho em hỏi bài luôn, cũng khá khó:
Tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp $(O) $ ,$A_{1},B_{1},C_{1} $ là các trung điểm $BC,CA,AB $. Trên $OA_{1} $ lấy $A_{2} $ sao cho $\triangel OAA_{1} $ và $\triangel OA_{2}A $ đồng dạng. Tương tự lấy các điểm $B_{2},C_{2} $. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2} $ đồng quy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi conami

Cho tam giác $ABC.AB=c,BC=a,CA=b $, diện tích tam giác $ABC $ bằng $S $. Chứng minh
$\cot A =\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4S} $
Đây là bài toán phụ dùng để chứng minh 1 kết quả quen thuộc về điểm Brocard. Nhờ các sư huynh trên đây gợi ý hướng giải(Chỉ giới hạn đến kiến thức lớp 9)

Áp dụng định lý cosine, ta có $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $
Lại có $2S=bc\sin A $. Do đó $\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S} $

Nguyên văn bởi conami

Tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp $(O) $ ,$A_{1},B_{1},C_{1} $ là các trung điểm $BC,CA,AB $. Trên $OA_{1} $ lấy $A_{2} $ sao cho $\triangel OAA_{1} $ và $\triangel OA_{2}A $ đồng dạng. Tương tự lấy các điểm $B_{2},C_{2} $. Chứng minh $AA_{2},BB_{2},CC_{2} $ đồng quy

Đề bài phải bổ sung thêm là "trên tia $OA_{1} $ lấy $A_{2} $".
Từ giả thiết ta có $OA_1 \cdot OA_2 = OA^2=R^2 $.
Do đó $A_2 $ là giao điểm của các tiếp tuyến tại $B,C $ của $(O) $.
Khi đó $AA_2,BB_2,CC_2 $ là các đường đối trung của tam giác $ABC $ và chúng đồng quy tại điểm Lemoine của tam giác $ABC $.
Cách chứng minh và các tính chất của đường đối trung và điểm Lemoine có thể xem tại [Only registered and activated users can see links. ].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]