Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 20-08-2012, 09:03 PM   #1
ptk_1411
Moderator
 
ptk_1411's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 697
Thanks: 162
Thanked 810 Times in 364 Posts
Các định lý và bổ đề Số học

Chào các bạn.
Số học là một mảng rất rộng lớn của toán học nói chung và toán Oympic nói riêng, và thường là bài toán khó trong cái đề thi vì ít có một phương pháp chung nào. Tuy nhiên, những bài toán khó thường được tạo nên từ các bài toán nhỏ và đơn giản hơn. Chính vì vậy, mình lập topic Các bổ đề Số học này để cùng chia sẽ về những bổ đề có nhiều ứng dụng trong các kì thi Olympic. Mong mọi người ủng hộ.

Về quy định:

Cũng như mọi topic khác: LaTex đàng hoàng, không spam . Ở đây mình xin nói về cách trình bày:

1. Định lý/Bổ đề X
................................

Chứng minh


Bài tập áp dụng:


Lưu ý là các bài tập áp dụng chỉ nêu đề bài, nếu có thắc mắc các bạn có thể lập topic khác để hỏi.

Và bây giờ, topic xin được phép bắt đầu!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
P.T.K
Có xa xôi mấy mà tình xa xôi...

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 21-08-2012 lúc 06:00 PM
ptk_1411 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 12 Users Say Thank You to ptk_1411 For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), bboy114crew (20-08-2012), conami (20-08-2012), Conanvn (20-08-2012), einstein1996 (22-08-2012), JokerNVT (07-10-2012), MathForLife (20-08-2012), philomath (20-08-2012), Samurott (11-12-2012), tffloorz (20-08-2012), TNP (26-09-2012), Trànvănđức (21-12-2012)
Old 20-08-2012, 09:25 PM   #2
ptk_1411
Moderator
 
ptk_1411's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 697
Thanks: 162
Thanked 810 Times in 364 Posts
$\boxed{1}$ Với mọi $1\le i\le p-1$ thì $C_{p}^{i}$ chia hết cho $p$.

Chứng minh


Bài tập áp dụng:

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
P.T.K
Có xa xôi mấy mà tình xa xôi...

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 21-08-2012 lúc 06:00 PM
ptk_1411 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to ptk_1411 For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), Caybutbixanh (23-04-2014), Conanvn (05-09-2012), einstein1996 (22-08-2012), JokerNVT (07-10-2012), MathForLife (21-08-2012), pco (21-08-2012), Trànvănđức (21-12-2012)
Old 20-08-2012, 10:28 PM   #3
tranghieu95
+Thành Viên+
 
tranghieu95's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Phan Bội Châu- Nghệ An
Bài gởi: 382
Thanks: 187
Thanked 364 Times in 197 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới tranghieu95
$\boxed{2}$ Định lí Lagrange
Nếu $P$ là đa thức nguyên bậc $n$ không đồng nhất với đa thức 0, $p$ là số nguyên tố thì phương trình $P(x) \equiv 0 \pmod{p}$ có không quá n nghiệm


$\textbf{Bài tập áp dụng:}$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39
XIN LỖI ĐÃ THẤT HỨA NHÉ

KỆ

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 21-08-2012 lúc 06:01 PM
tranghieu95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 8 Users Say Thank You to tranghieu95 For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), Conanvn (05-09-2012), einstein1996 (22-08-2012), JokerNVT (07-10-2012), LLawliet (23-08-2012), MathForLife (21-08-2012), pco (21-08-2012), ptk_1411 (21-08-2012)
Old 21-08-2012, 02:35 PM   #4
pco
+Thành Viên+
 
pco's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 528
Thanks: 560
Thanked 195 Times in 124 Posts
$\fbox{3}$ Cho $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$. Khi đó nếu $a^2+b^2$ chia hết cho $p$ thì $a$ và $b$ đều chia hết cho $p$.

Chứng minh.


Bài tập áp dụng.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"People's dreams... will never end!" - Marshall D. Teach.

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 21-08-2012 lúc 06:02 PM
pco is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to pco For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), einstein1996 (22-08-2012), ptk_1411 (21-08-2012)
Old 21-08-2012, 09:48 PM   #5
ptk_1411
Moderator
 
ptk_1411's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2011
Bài gởi: 697
Thanks: 162
Thanked 810 Times in 364 Posts
$\boxed{4}$ Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ và $p|a^{2^n}+1$ thì $p\equiv 1 \pmod {2^{n+1}}$.

Chứng minh


Bài tập áp dụng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
P.T.K
Có xa xôi mấy mà tình xa xôi...

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 21-08-2012 lúc 10:50 PM
ptk_1411 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to ptk_1411 For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), einstein1996 (22-08-2012), pco (01-06-2013)
Old 21-08-2012, 11:47 PM   #6
tranghieu95
+Thành Viên+
 
tranghieu95's Avatar
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Phan Bội Châu- Nghệ An
Bài gởi: 382
Thanks: 187
Thanked 364 Times in 197 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới tranghieu95
$\boxed{5}$ $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p=k.2^t+1, k \in \mathbb{N^*}, k$ là số tự nhiên. Khi đó nếu tồn tại số tự nhiên x, y thỏa mãn: $x^{2^t}+y^{2^t} \vdots p$ thì $x \, \vdots \,p; \,y \,\vdots \,p$.

Chứng minh:


Bài tập áp dụng:

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39
XIN LỖI ĐÃ THẤT HỨA NHÉ

KỆ

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 22-08-2012 lúc 08:09 PM
tranghieu95 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 3 Users Say Thank You to tranghieu95 For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012), einstein1996 (22-08-2012), ptk_1411 (22-08-2012)
Old 23-08-2012, 09:11 PM   #7
let it be
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2012
Bài gởi: 68
Thanks: 6
Thanked 15 Times in 12 Posts
$\boxed{6}$ Điều kiện cần và đủ để $(a,b)=1$ là tồn tại $x,y$ sao cho $ax+by=1$.

Chứng minh


Hệ quả:
Điều kiện cần và đủ để $(a,b)=1$ là tồn tại $u,v$ sao cho $au-bv=1$.

Bài tập áp dụng

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 23-08-2012 lúc 09:20 PM
let it be is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to let it be For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012)
Old 07-10-2012, 06:17 PM   #8
pco
+Thành Viên+
 
pco's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 528
Thanks: 560
Thanked 195 Times in 124 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi ptk_1411 View Post
$\boxed{4}$ Nếu $p$ là số nguyên tố lẻ và $p|a^{2^n}+1$ thì $p\equiv 1 \pmod {2^{n+1}}$.

Chứng minh


Bài tập áp dụng
Cái này là cái tổng quát của định lý 3 em đưa ra nhỉ ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
"People's dreams... will never end!" - Marshall D. Teach.
pco is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 10-12-2012, 11:23 PM   #9
Samurott
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jun 2012
Đến từ: Thành phố mang tên Bác
Bài gởi: 63
Thanks: 175
Thanked 30 Times in 22 Posts
$\fbox{7}$ Số $a $ là hợp số nếu tồn tại một tích các số nguyên dương $a_{1}a_{2}...a_{n}=A $ $(n\geq 2) $ sao cho $a\mid A $ và $a> a_{i}, \forall i\in \left \{ 1,2,3,...,n \right \} $
Chứng minh


Bài tập áp dụng:

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: TrauBo, 11-12-2012 lúc 10:10 AM
Samurott is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Samurott For This Useful Post:
bb.boy_lion (11-12-2012)
Old 17-10-2013, 11:04 AM   #10
luxubuhl
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Bài gởi: 253
Thanks: 115
Thanked 121 Times in 63 Posts
8. Cho $p$ là một số nguyên tố. $p \equiv 2 (mod 3)$. Khi đó với mọi số nguyên $x;y$ mà $x^3 \equiv y^3 ( \mod p) \Longrightarrow x \equiv y (\mod p)$.

Chứng minh


[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
luxubuhl is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 01-02-2017, 04:31 PM   #11
NaLDo
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2017
Bài gởi: 7
Thanks: 2
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi luxubuhl View Post
8. Cho $p$ là một số nguyên tố. $p \equiv 2 (mod 3)$. Khi đó với mọi số nguyên $x;y$ mà $x^3 \equiv y^3 ( \mod p) \Longrightarrow x \equiv y (\mod p)$.

Chứng minh

Tổng quát của bổ đề này là:

Bổ đề. Cho số nguyên dương $m$ và số nguyên $a$ nguyên tố cùng nhau với $m$, khi đó nếu số nguyên dương $n$ nguyên tố cùng nhau với $\varphi(m)$ thì từ đồng dư thức\[a^n\equiv 1\pmod m\]Ta sẽ có $a\equiv 1\pmod m$.

Chứng minh. Từ giả thiết và định lý Bézout, sẽ tồn tại $k;\,l\in\mathbb N$ sao cho\[kn-l\varphi(m)=1\]Từ đó áp dụng định lý Euler mà có\[a \equiv a \times {1^l} \equiv \,a \times {\left( {{a^{\varphi (m)}}} \right)^l} \equiv {a^{1 + l\varphi (m)}} \equiv {a^n} \equiv 1\pmod m\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: NaLDo, 01-02-2017 lúc 04:40 PM
NaLDo is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 02:53 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 101.41 k/114.78 k (11.65%)]