Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-02-2018, 01:02 PM   #1
huynh anh
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Sep 2009
Bài gởi: 1
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Tổng các lũy thừa theo mod p

Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
huynh anh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 28-02-2018, 05:32 AM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi huynh anh View Post
Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]
Giả sử $\gcd (k;\,p-1)=d$, ta viết $k=dl$ và $p-1=dq$ với $\gcd(q;\,l)=1$. Xét trên trường $\mathbb Z_p$, thì phương trình $x^q=1$ có đúng $q$ nghiệm và theo định lý Viète thì tổng các nghiệm này bằng $0$ trên $\mathbb Z_p$ (để ý $q>1$). Xét $r,\,t\in\mathbb Z_p^*$, nếu $r^k=t^k$ trên $\mathbb Z_p^*$ ta sẽ có $r^d=t^d$ trên $\mathbb Z_p^*$, tức $r^d$ và $t^d$ (hay $r^k$ và $t^k$) cùng là một nghiệm của phương trình $x^q=1$ trên $\mathbb Z_p$.

Như vậy, tập $\left\{1^{k};\,2^{k};\,\ldots ;\,(p-1)^{k}\right\}$ được phân hoạch thành $d$ tập con, mỗi tập con đó xét trên $\mathbb Z_p$ lại chính là tập nghiệm của phương trình $x^q=1$ trên $\mathbb Z_p$. Tổng các phần tử ở mỗi tập con đó, như đã nói ở trên là bằng 0 trên $\mathbb Z_p$, cho nên\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-03-2018, 06:51 PM   #3
Minh_Duy
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 6
Thanks: 6
Thanked 1 Time in 1 Post
Trích:
Nguyên văn bởi huynh anh View Post
Cho $p$ là số nguyên lẻ và số nguyên dương $k<p-1$, chứng minh rằng\[1^{k}+2^{k}+...+(p-1)^{k}\equiv 0\pmod p.\]
Bài này có thể giải đơn giản hơn bằng căn nguyên thủy, như sau.

Giả sử $g$ là căn nguyên thủy mod $p$, ta có $\left(1,\,g,\,\ldots ,\,g^{p-2}\right)$ là một hệ thặng dư thu gọn mod $p$ nên\[\begin{array}{l}
{1^k} + {2^k} + ... + {(p - 1)^k} &\equiv 1 + {g^k} + \ldots + {g^{k\left( {p - 2} \right)}}\pmod p\\
&\equiv \dfrac{{{g^{k\left( {p - 1} \right)}} - 1}}{{{g^k} - 1}}\pmod p .
\end{array}\]
Bây giờ để ý là $p\mid {{g^{k\left( {p - 1} \right)}} - 1}$ còn $\gcd\left({g^{k} - 1},\,p\right)=1$ (do $\text{ord}_p(g)=p-1>k$) nên ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Minh_Duy is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:28 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 44.88 k/49.83 k (9.94%)]