Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-09-2018, 09:26 AM   #1
Viet HN
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2017
Bài gởi: 9
Thanks: 1
Thanked 2 Times in 2 Posts
Các số chính phương trong dãy $\left\lfloor {n\sqrt 2 } \right\rfloor $

Chứng minh rằng có vô số số chính phương trong dãy số $\left\lfloor {n\sqrt 2 } \right\rfloor $, với $n\in\mathbb Z^+$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Viet HN is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 25-09-2018, 09:45 AM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Viet HN View Post
Chứng minh rằng có vô số số chính phương trong dãy số $\left\lfloor {n\sqrt 2 } \right\rfloor $, với $n\in\mathbb Z^+$.
Bài này có thể giải được bằng công cụ mạnh hơn như dùng mật độ, nhưng có cách đơn giản như sau.

Xét các dãy số bởi công thức SHTQ như sau\[{a_n} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^{2n - 1}} + {{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{2n - 1}}}}{{2\sqrt 2 }},\quad{b_n} = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^{2n - 1}} - {{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^{2n - 1}}}}{2}\quad\,n\in\mathbb Z^+.\]Ta có $a_1=b_1=1,\;a_2=5,\;b_2=7$ và\[\begin{array}{l}
{a_{n + 2}} &= 6{a_{n + 1}} - {a_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+,\\
{b_{n + 2}} &= 6{b_{n + 1}} - {b_n}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.
\end{array}\]Từ đó, $a_n,\,b_n\in\mathbb Z^+\;\forall\,n\in\mathbb Z^+$, thêm nữa ta có được\[2a_n^2 - b_n^2 = \left( {\sqrt 2 {a_n} - {b_n}} \right)\left( {\sqrt 2 {a_n} + {b_n}} \right) = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{2n - 1}}{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{2n - 1}} = 1\quad\forall {\mkern 1mu} n \in {\mathbb Z^+ }.\]Vì thế mà có được\[\left\lfloor {{a_n}{b_n}\sqrt 2 } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {2a_n^2b_n^2} } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt {b_n^4 + b_n^2} } \right\rfloor = b_n^2\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]Để ý rằng các dãy số $a_n,\,b_n$ tăng ngặt, là ta có điều cần chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:10 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 42.48 k/46.57 k (8.78%)]