Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 24-02-2018, 03:45 PM   #1
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Điều kiện để $n\mid\left(a^n-a\right)$ với mọi $a$

Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$, thỏa mãn$$n\mid\left(a^n-a\right)\quad\forall\,a\in\mathbb Z.$$Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $n$, thì $p^2\nmid n$ và $(p-1)\mid (n-1)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to Thụy An For This Useful Post:
fatalhans (25-02-2018)
Old 25-02-2018, 03:32 PM   #2
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$, thỏa mãn$$n\mid\left(a^n-a\right)\quad\forall\,a\in\mathbb Z.$$Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $n$, thì $p^2\nmid n$ và $(p-1)\mid (n-1)$(1).
Con xin trình bày :
1.
Ta có để ${a^n} \equiv a{\rm{ ( mod n ) }}$ với mọi a là số nguyên
thì n phải thỏa (1)
Nên wlog ta chọn a / $or{d_n}(a) = p - 1$ Từ đây ta có gcd(a,n)=1
Ta đã có ${a^n} \equiv a{\rm{ ( mod n ) }}$
hay ${a^{n - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod n}}{\rm{)}}$ ( Do ( a,n)=1)
hay ${a^{n - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod p)}}$ ( Do p | n )
Mặt khác , theo Flt :$ {a^{p - 1}} \equiv 1{\rm{ ( mod p}}{\rm{)}}$
Từ đó (p-1) | (n-1)
2.
Giả sử $n = {p_1}.{p_2}...{p_n}$ với ${p_i}$ là các số nguyên tố
Ta có ${a^{{p_1}}} \equiv a \equiv {a^{{p_1}.{p_2}...{p_n}}}{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1})$ ( Flt )
Hay ${a^{{p_1} - 1}} \equiv 1 \equiv {a^{{p_1}({p_2}...{p_n} - 1)}}{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1})$
Nên ${p_2}...{p_n} - 1 \equiv {p_1}({p_2}...{p_n} - 1) \equiv 0{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1} - 1)$
Mà ${p_i} - 1|n - 1$
Nên ${p_1} - 1|n - {p_2}...{p_n} - 1$ Điều này là hiển nhiên .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: fatalhans, 25-02-2018 lúc 09:01 PM
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2018, 02:48 PM   #3
rua88
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
Ta có để ${a^n} \equiv a{\rm{ ( mod n ) }}$ với mọi a là số nguyên
thì n phải thỏa (1)
Bạn làm có ý đúng! Nhưng trình bày với logic quá lộn xộn.
Trích:
Nguyên văn bởi fatalhans View Post
Giả sử $n = {p_1}.{p_2}...{p_n}$ với ${p_i}$ là các số nguyên tố
Ta có ${a^{{p_1}}} \equiv a \equiv {a^{{p_1}.{p_2}...{p_n}}}{\rm{ ( mod }}{{\rm{p}}_1})$ ( Flt )
Cái này sai rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
rua88 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2018, 03:14 PM   #4
tuananh212
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2017
Bài gởi: 4
Thanks: 0
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Cho số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$, thỏa mãn$$n\mid\left(a^n-a\right)\quad\forall\,a\in\mathbb Z.$$Chứng minh rằng nếu $p$ là ước nguyên tố của $n$, thì $p^2\nmid n$ và $(p-1)\mid (n-1)$.
Nếu $p^2\mid n$, chọn $a=1+p$ có $\gcd (a;\,p=1)$ nên $a^{n-1}\equiv 1\pmod{p^2}$. Mặt khác $p\mid n$ và theo [Only registered and activated users can see links. ] thì\[{a^{n - 1}} \equiv {\left( {1 + p} \right)^{n - 1}} \equiv 1 + \left( {n - 1} \right)\left( {1 + p - 1} \right) \equiv 1 - p\pmod{p^2}.\]Vậy dẫn đến điều vô lý là $1-p\equiv 1\pmod{p^2}$, tức là $p^2\nmid n$.

Giờ nếu lấy $a=r$, với $r$ là căn nguyên thủy mod $p$, ta có đồng dư\[1 \equiv {a^{n - 1}} \equiv {r^{n - 1}}\pmod p.\]Mà $\text{ord}_p(r)=p-1$ nên $(p-1)\mid (n-1)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: tuananh212, 26-02-2018 lúc 03:18 PM
tuananh212 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to tuananh212 For This Useful Post:
fatalhans (26-02-2018)
Old 26-02-2018, 05:38 PM   #5
fatalhans
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 31
Thanks: 41
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi rua88 View Post
Bạn làm có ý đúng! Nhưng trình bày với logic quá lộn xộn.

Cái này sai rồi.
Theo định lí Flt ta có : ${a^{{p_1}}} \equiv a(\bmod {\rm{ }}{{\rm{p}}_1})$
Mình không rõ chỗ sai. Mong bạn chỉ chi tiết hơn ^^ . Cảm ơn bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
fatalhans is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:29 AM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 56.00 k/63.07 k (11.22%)]