Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Lý Thuyết Số

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 25-02-2018, 04:06 PM   #1
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Phương pháp xuống thang

1)Chứng minh rằng $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ không có nghiệm nguyên dương
2)Chứng minh rằng $r^{4}+s^{4}=t^{2}$ không có nghiệm nguyên dương
Từ đó suy ra $Q_{n}=\frac{(1+\sqrt{2})^{n}+(1-\sqrt{2})^{n}}{2}$ không là số chính phương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 25-02-2018 lúc 04:37 PM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 26-02-2018, 04:03 PM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
1)Chứng minh rằng $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ không có nghiệm nguyên dương
Cái này dùng bổ đề ở [Only registered and activated users can see links. ] là xong! Với chú ý là nếu $r^{2}+s^{4}=t^{4}$ thì bộ $\left(x;\,y;\,z\right)=\left(2s^2t^2;\,t^4-s^4;\,t^4+s^4\right)$ là nghiệm của phương trình $x^2+y^2=z^2$ và nó thoả $2xy=(2str)^2$. Bổ đề kia còn có một trường hợp nữa là:

Bổ đề. Hễ phương trình $x^2+y^2=z^2$ có bộ nghiệm nguyên dương $\left(\mathfrak x;\,\mathfrak y;\,\mathfrak z\right)$ thì $\mathfrak x\mathfrak y$ không là số chính phương.

Và dùng nó, có luôn được ý này.
Trích:
Nguyên văn bởi zinxinh View Post
2)Chứng minh rằng $r^{4}+s^{4}=t^{2}$ không có nghiệm nguyên dương

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 27-02-2018, 11:27 AM   #3
zinxinh
Café Noir
 
zinxinh's Avatar
 
Tham gia ngày: Jan 2009
Bài gởi: 199
Thanks: 64
Thanked 67 Times in 43 Posts
Không phải là cố ý đâu:
Nếu $z^{2}=P^{4}-Q^{4}=(P^{2}-Q^{2})(P^{2}+Q^{2})$ .Có thể giả sử là (P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 .Vì đang xét P,Q,z là các số nguyên dương nhỏ nhất.
Trường hợp 1:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 2 thì $P^{2}-Q^{2}=2x^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}=2y^{2}$ từ đó suy ra $(PQ)^{2}=y^{4}-x^{4}$ .Vậy là bộ y,x,PQ là bộ nghiệm nhỏ hơn theo nghĩa P là nhỏ nhất.
Trường hợp 2:$P^{2}-Q^{2}$ và $P^{2}+Q^{2}$ có ước chung lớn nhất là 1
thì $P^{2}+Q^{2}=S^{2}$ và $P^{2}-Q^{2}=T^{2}$ .Do đó $P^{2}=Q^{2}+T^{2}$ cũng có tiếp $S^{2}=P^{2}+Q^{2}=Q^{2}+T^{2}+Q^{2}=2Q^{2}+T^{2}$
Bởi P,Q,z là nhỏ nhất nên ta phải có bộ (S,P,Q) có ước chung lớn nhất là 1 và bộ (P,T,Q) cũng vậy.Vì vậy S,P,T là số nguyên dương lẻ còn Q nguyên dương chẵn
Từ $S^{2}=T^{2}+2Q^{2}----->S=t^{2}+2q^{2}$ thật vậy
$2Q^{2}=S^{2}-T^{2}=(S-T)(S+T)$ .Ấy từ Q chẵn và UCLN(S,T)=1 nên UCLN(S-T,S+T)=2 .Ta suy ra hai số $\frac{S+T}{2},\frac{S-T}{2}$ là hoán vị của ($2W^{2},V^{2}$) hay là $S=\frac{S+T}{2}+ \frac{S-T}{2}=2W^{2}+V^{2}$
Nhưng ta lại có $S=2W^{2}+V^{2}------>(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$ là số chính phương
Biết $(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}=(\frac{S+T}{2})^{2}+( \frac{S-T}{2} )^{2}=\frac{S^{2}+T^{2}}{2}$
Từ $S^{2}=2Q^{2}+T^{2}------>\frac{S^{2}+T^{2}}{2}=\frac{2Q^{2}+T^{2}+T^{2}}{2 }=Q^{2}+T^{2}=P^{2}$
Từ đó $P^{2}=(2W^{2})^{2}+(V^{2})^{2}$
Bộ ba số Pitago xác định luôn
$2W^{2}=2mn$;$V^{2}=m^{2}-n^{2}$;$P=m^{2}+n^{2}$
Từ $Q^{2}=4W^{2}V^{2}=4mn(m^{2}-n^{2})--->(Q/2)^{2}=mn(m^{2}-n^{2})$.Từ UCLN($m,n,m^{2}-n^{2}$)=1 suy ra
$m=M^{2}$ và $n=N^{2}$ hay $V^{2}=M^{4}-N^{4}$ bộ nghiệm M,N,V còn nhỏ hơn. Suy ra điều giả sử là sai vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: zinxinh, 27-02-2018 lúc 11:31 AM
zinxinh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 09:40 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 46.80 k/52.00 k (10.00%)]