Một số bài tập đại số đại cương

[toi_yeu_vn]

Mình một số bài toán sau nhờ các bạn giúp gấp, xin cảm ơn nhiều!

Bài 1 Trên tập số thực R xét quan hệ hai ngôi T sau: $\forall x,y \in X, xTy \Longleftrightarrow |x|=|y| $
T có phải là một quan hệ tương đương hay không? Nếu T là quan hệ tương đương, hãy tìm lớp tương đương và tập thương.

Bài 2 Chứng tỏ vành ${Z} _p $ các số nguyên mođunlo $p $ là một trường khi và chỉ khi $p $ là một số nguyên tố.

Bài 3 Chứng minh rằng $G=R* $x$R=\{(a,b)|a \in R \backslash \{0\}, b \in R \} $ với phép toán: $(a,b).(c,d)=(ac,bc+d) $ là một nhóm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[materazzi]

Nguyên văn bởi toi_yeu_vn

Bài 3 Chứng minh rằng $G=R* $x$R=\{(a,b)|a \in R \backslash \{0\}, b \in R \} $ với phép toán: $(a,b).(c,d)=(ac,bc+d) $ là một nhóm.

Trước hết dễ thấy $G $ khác rỗng .

Lấy $(a_1,b_1) \ \in G ; \ (a_2,b_2) \ \in G ; \ (a_3,b_3) \ \in G $ .

Ta có :

$(a_1,b_1).((a_2,b_2).(a_3,b_3))=((a_1,b_1).(a_2,b_ 2)).(a_3,b_3)=(a_1a_2a_3,a_2a_3b_1+a_3b_2+b_3) $

Phần tử : $e=(1,0) \in G $ là phần tử đơn vị .

Phần tử : $(a^{-1},-a^{-1}b) \in G $ là phần tử nghịch đảo của phần tử $(a,b) \in G $ .

Vậy : $(G;.) $ là nhóm .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trangchodom]

Bài 2. Một ideal của Z có dạng mZ. Nếu m không là số nguyên tố thì lấy một ươc số n khác 1 của m thì mZ nằm trong nZ. Suy ra một ideal tối đại của Z phải có dạng pZ với p là số nguyên tố. Do đó Zp = Z/pZ là trường khi và chỉ khi p là số nguyên tố.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[modular]

Nguyên văn bởi toi_yeu_vn

Bài 1 Trên tập số thực R xét quan hệ hai ngôi T sau: $\forall x,y \in X, xTy \Longleftrightarrow |x|=|y| $
T có phải là một quan hệ tương đương hay không? Nếu T là quan hệ tương đương, hãy tìm lớp tương đương và tập thương.

T là một quan hệ tương đương. Tập thương là tập các số thực không âm, có thể xem như thế.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[dongchirua]

Cho nhóm (G,.), $a,b \in G $ Chứng mình cấp của a.b bằng cấp b.a
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[materazzi]

Nguyên văn bởi dongchirua

Cho nhóm (G,.), $a,b \in G $ Chứng mình cấp của a.b bằng cấp b.a

Mình thấy là với $ x,y \in G $ thì : $xy=e \Leftrightarrow yx=e $ .

Giả sử $n $ là cấp của $ab $ .

Có : $e=(ab)^n=abab...ab=a(bab...ab) \Leftrightarrow e=(bab...ab)a=(ba)^n $ .

Vậy cấp của $ab $ bằng cấp của $ba $ .
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Huy_92]

Nguyên văn bởi 14K8

T là một quan hệ tương đương. Tập thương là tập các số thực không âm, có thể xem như thế.

Nếu trong tập $E $ cho quan hệ $R $

Nếu với mọi $x,y \in E $ có $xRy <=> f(x) = f(y) $ thì có chắc chắn $R $ là một quan hệ tương đương không ?

Nếu $R $ là quan hệ tương đương thì trong trường hợp tại một số điểm ta không thể có $f(x) = f(y) $ thì kết luận thế nào ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Huy_92

Nếu trong tập $E $ cho quan hệ $R $

Nếu với mọi $x,y \in E $ có $xRy <=> f(x) = f(y) $ thì có chắc chắn $R $ là một quan hệ tương đương không ?

Đương nhiên.

Nếu $R $ là quan hệ tương đương thì trong trường hợp tại một số điểm ta không thể có $f(x) = f(y) $ thì kết luận thế nào ?

Nên đặt câu hỏi rõ hơn, vì kiểu gì ta cũng xây dựng được một f thỏa mãn tính chất đó, ví dụ ánh xạ chiếu : $x\to [x] $ biến phần tử thành lớp tương đương chứa nó. Nói chung câu hỏi này mơ hồ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoahoctro207]

Bài 2
Điều kiện cần
Giả sử$ Z/n $ là 1 trường và n không phải là số nguyên tố tứ là n= k.l (1<k,l <n)

Ta có $[0]=[n]=[k][l] $

Do Do $ Z/n $ là 1 trường và [k] # 0 nên tồn tại $k^{-1} $

$\in $ $ Z/n $

Từ đó

$[l]=[k^{-1}][k][l]=[k^{-1}][0]=[0] $ (Vô lí)

Điều kiện đủ
chứng minh mọi phần tử #0 trong $ \frac{Z}{n} $ đều khả nghịch
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi toi_yeu_vn

Mình một số bài toán sau nhờ các bạn giúp gấp, xin cảm ơn nhiều!

Bài 2 Chứng tỏ vành ${Z} _p $ các số nguyên mođunlo $p $ là một trường khi và chỉ khi $p $ là một số nguyên tố.

- Ta có: ${Z} _p $ là một miền nguyên khi và chỉ khi $p \in \mathbb{P} $ (1);
- Mọi miền nguyên hữu hạn là một trường (2);
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Nguyên văn bởi materazzi

Mình thấy là với $ x,y \in G $ thì : $xy=e \Leftrightarrow yx=e $ .

Giả sử $n $ là cấp của $ab $ .

Có : $e=(ab)^n=abab...ab=a(bab...ab) \Leftrightarrow e=(bab...ab)a=(ba)^n $ .

Vậy cấp của $ab $ bằng cấp của $ba $ .

$e=(ba)^n $ thì chưa chắc $n $ là cấp của $b $.Có thể là ước của $n $ thì sao.

PS:dongchirua chào anh Quy,anh cũng lên đây tham gia à
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tuan119]

Nguyên văn bởi toi_yeu_vn

Mình một số bài toán sau nhờ các bạn giúp gấp, xin cảm ơn nhiều!

Bài 1 Trên tập số thực R xét quan hệ hai ngôi T sau: $\forall x,y \in X, xTy \Longleftrightarrow |x|=|y| $
T có phải là một quan hệ tương đương hay không? Nếu T là quan hệ tương đương, hãy tìm lớp tương đương và tập thương.

+ $T $có tính chất phản xạ: Vì $|x|= |x|, $vậy $xTx; $ (1)
+ $T $có tính chất đối xứng: Giả sử $xTy, $tức là $|x|=|y| $ hay$|y| =|x| $, như vậy có $yTx; $ (2)
+$T $có tính chất bắc cầu: Nếu $xTy $và $yTz $, tức là $|x|=|y| $ và $|y|=|z| $ thì $|x|=|z| $ , do đó: $xTz $ (3);
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[laihuutoan]

Mình có 1 số bài đại số đại cương nè.các bạn tham khảo nha!
ai muốn trao đổi gì liên hệ vs mình qua email:[Only registered and activated users can see links. ].hân hạnh.
link:[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]