Các bài toán chuẩn bị cho kỳ thi Olympic SV 2012

[123456]

Nguyên văn bởi magician_14312

Cho $X=A$, ta được $\text{rank}(2A)=2 \text{rank}(A)\Rightarrow \text{rank}(A)=0.$

Giả sử $A \ne 0$. Khi đó tồn tại ít nhất một cột khác $0$. Giả sử là $A_1$.

Viết lại ma trận $A$ dưới dạng các cột, $A=(A_1,A_2,...,A_n)$.

Chọn ma trận $X$ là $X=(A_1,-A_2,...,-A_n)$. Dễ thấy $\text{rank}(X)=\text{rank}(A)=0$.

Mặt khác, $A+X=(2A_1,0,...,0)\Rightarrow \text{rank}(A+X)=1$. (Vô lí)

Vậy điều giả sử là sai. Tức là $A=0$.

$rank(A)=0$ là suy ra $A=0$ rồi, không cần dùng lại giả thiết nữa.

Bài 8: dùng tính chất sau: nếu $Tr(CD)=0$ với mọi ma trận $D$ thì $C=0$ (chọn $D=C^t$). Và nếu $CD=DC$ với mọi ma trận $D$ thì $C=a I$. Khi đó ma trận $A$ cần tìm có dạng $A=a I$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Các bài sau là ma trân cấp n vuông phần tử thực hoặc phức.

Bài 1: Cho ma trận $A $, chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình $XY-YX=A $ có nghiệm là $tr(A)=0 $

Bài 2: Nếu kí hiệu $\|A\| $ là chuẩn của ma trận $A $, tức là $\max_{j=1,n}|\lambda_j| $ với $\lambda_j $ là các giá trị riêng (có thể phức) của $A $. Chứng minh rằng các ma trận $B,C $ ở Bài 1 có thể lấy sao cho $\|B\|\cdot\|C\|\leq\drac{\sqrt5}2\|A\| $

Bài 3: Với mỗi ma trân A, ta xác định chuẩn $L^p $ của $A $ là $\|A\|_{p}:=\left(|\lambda_1|^p+\cdots+|\lambda_n|^ p\right)^{1/p} $ ở đó $\lambda_1, \cdots,\lambda_n $ là tất cả các giá trị riêng của $A $.
Chứng minh
$\|AB-BA\|_p\leq 2^{\max\{\frac1p,\frac1{p^\prime}\}}\|A\|_p\cdot\| B\|_p $ ở đó $1<p<\infty $ và $\frac1p+\frac1{p^\prime}=1 $.



Các kết quả phân tích sâu hơn:
[1] Proc. AMS. Vol. 42, No.2 (1974): [Only registered and activated users can see links. ]

[2] Roger A. Horn, Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press (1990). (co ban dien tu)

...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kynamsp]

Bài 9: Cho a,b,x là các số thực a khác b, $ M_n = (a)_{2nx2n} $ , $(a)_{ij}=\begin{cases} x , i=j\\a , i\neq j , i+j chan \\b , i\neq j , i+j l e \end{cases} $ . Tính $det(M_n) $ .


Bài 10: Tìm ma trận thực vuông cấp 3 sao cho tr(A) =0 và $A^T=A^2-I $ .

Bài 11: Cho P(x) và Q(x) là các đa thức với hệ số thực thõa mãn P(P(x)) =Q(Q(x)) chứng minh $ P(x) \equiv Q(x) $.

Bài 12: Trong một trò chơi định thức , gam thủ một sẽ điền số 1 vào một ô bất kỳ của ma trận A vuông và trống cấp 3x3, sau đó game thủ không sẽ điền số không vào một vị trí khác . Tiếp theo đến lượt game thủ một điền số một vào ô còn lại của A ,... cứ lần lượt như vậy cho đến khi ma trận A được điền đầy đủ với các số không hoặc 1 (ma trận A có 5 phần tử là số 1 và 4 phần thử là số không ). Nếu det(A) = 0 thì game thủ không thắng, còn det(A) khác không thì game thủ một thắng. Gỉa sử cả hai game thủ đều đưa ra những chiến thuật chơi tối ưu nhất (trò chơi chỉ phân thắng bại khi một trong hai game thủ hết lượt đi). Game thủ nào sẽ thắng vì sao?
(trích đề chọn olympic ĐHGTVT HÀ NỘI)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Các bài sau là ma trân cấp n vuông phần tử thực hoặc phức.

Bài 1: Cho ma trận $A $, chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình $XY-YX=A $ có nghiệm là $tr(A)=0 $

...

Bài này có cách giải sơ cấp không anh nhỉ? Nghĩa là chỉ dùng kiến thức đại số tuyến tính năm thứ nhất đại học? Em cũng từng nghĩ thử bài này nhưng mà thấy không có hướng gì mấy, mà căn bản là lười. Không ngờ đây là một kết quả đăng báo được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Mr Stoke]

Nguyên văn bởi 99

Bài này có cách giải sơ cấp không anh nhỉ? Nghĩa là chỉ dùng kiến thức đại số tuyến tính năm thứ nhất đại học? Em cũng từng nghĩ thử bài này nhưng mà thấy không có hướng gì mấy, mà căn bản là lười. Không ngờ đây là một kết quả đăng báo được.

Cách giải bài này hoàn toàn đơn giản, dùng cái mẹo ma trận khối như mấy bài trong cuộc thi olympic sinh viên, nhưng lời giải dài lắm, anh cũng ngại viết ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Highschoolmath]

Nguyên văn bởi Mr Stoke

Cách giải bài này hoàn toàn đơn giản, dùng cái mẹo ma trận khối như mấy bài trong cuộc thi olympic sinh viên, nhưng lời giải dài lắm, anh cũng ngại viết ra

Bài này em cũng cố dùng ma trận khối để quy nạp lùi nhưng không được thầy ơi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thinhptnk]

Bài nữa: Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$(1+a)x_1+(1+a^2)x_2+(1+a^3)x_3+(1+a^4)x_4=0 $
$(1+b)x_1+(1+b^2)x_2+(1+b^3)x_3+(1+b^4)x_4=0 $
$(1+c)x_1+(1+c^2)x_2+(1+c^3)x_3+(1+c^4)x_4=0 $
$(1+d)x_1+(1+d^2)x_2+(1+d^3)x_3+(1+d^4)x_4=0 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kynamsp]

Nguyên văn bởi thinhptnk

Bài nữa: Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất:
$(1+a)x_1+(1+a^2)x_2+(1+a^3)x_3+(1+a^4)x_4=0 $
$(1+b)x_1+(1+b^2)x_2+(1+b^3)x_3+(1+b^4)x_4=0 $
$(1+c)x_1+(1+c^2)x_2+(1+c^3)x_3+(1+c^4)x_4=0 $
$(1+d)x_1+(1+d^2)x_2+(1+d^3)x_3+(1+d^4)x_4=0 $

bài này xét định thức của ma trận hệ số. khi tính định thức thêm dòng một toàn là số một và cột một toàn là số không (giao của dòng một và cột một là phần tử -1) biến đổi ta được định thức dạng vandermond. định thức khác không khi a,b,c,d khác nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[thinhptnk]

Nguyên văn bởi kynamsp

Bài này xét định thức của ma trận hệ số. khi tính định thức thêm dòng một toàn là số một và cột một toàn là số không (giao của dòng một và cột một là phần tử -1) biến đổi ta được định thức dạng vandermond. định thức khác không khi a,b,c,d khác nhau

Mình xem đáp án rồi nhưng không hiểu tại sao người ta lại làm thế, hj.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[magician_14312]

Nguyên văn bởi kynamsp

Bài 10: Tìm ma trận thực vuông cấp 3 sao cho $tr(A) =0$ và $A^T=A^2-I $ .

Đa thức đặc trưng của $A$ có dạng $P(\lambda)=-\lambda^3+tr(A)\lambda^2-c_2 \lambda+ \det A$

Theo định lý Clayey-Hamilton, kết hợp với giả thiết, ta có
$$-A^3-c_2A+ I\det A=0\Rightarrow A(A^t+I)+c_2 A-I\det A=0$$
hay $AA^t-I\det A=-(c_2+1)A$

Ta thấy VT là 1 ma trận đối xứng. Do đó $A$ là ma trận đối xứng hoặc $c_2=-1$.

*) Nếu $A=A^t$. Thay vào giả thiết ta có được $A^2-A-I=0$. Nên đa thức cực tiểu của $A$ có dạng $g(x)=x^2-x-1$. Phương trình trên có 2 nghiệm, và đa thức đặc trưng sẽ nhận 1 trong 2 nghiệm đó là nghiệm bội.
Dễ thấy trong trường hợp này các giá trị riêng không thỏa mãn $tr(A)=0$.

*) Trường hợp $c_2=-1$, thì $AA^t=I\det A$. Từ đây có được $det A=0$ hoặc $\det A=1$.

+) $\det A=0$. Thay vào đa thức đặc trưng ta có được $A^3-A=0$.
Từ đây, $AA^t=A(A^2-I)=A^3-A=0\Rightarrow A=0$. Kết quả này không thỏa mãn.

+) $\det A=1$. Khi đó đa thức đặc trưng sẽ là $P(\lambda)=-\lambda^3+\lambda+1$. Đa thức này có 3 nghiệm là $\lambda_1,\lambda_2, \lambda_3$.
Sử dụng định lý Vi-ét, ta có được
$$tr(A^2)=\lambda_1^2+\lambda_2^2+\lambda_3^3=( \lambda_1 +\lambda_2+\lambda_3)^2-2\sum \lambda_1\lambda_2=0+2=2$$
Mặt khác thì $tr(A^2)=tr(A^t)+tr(I)=tr(A)+tr(I)=3$. Trường hợp này cũng không thể xảy ra.

Vậy không tồn tại ma trận $A$ thỏa mãn yêu cầu!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]