Tìm ma trận t/m det(A+B)=det(A)+det(B)

[becon91]

Tìm ma trận A vuông cấp n (n>=2) sao cho với mọi ma trận vuông B cấp n, ta có det(A+B)=det(A)+det(B)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi becon91

Tìm ma trận A vuông cấp n (n>=2) sao cho với mọi ma trận vuông B cấp n, ta có det(A+B)=det(A)+det(B)

Mơi lời ra cach:
+ Chọn $B= A $, khi đo: $2^{n}|A|=|2A|=| A+B|=2|A| $, nên $|A|=0 $
+ Chọn $B=-x.E,x\in R $
Khi đo: $| A-xE|=|-xE|=(-1)^n.x^n $. Đấy cũng là đa thưc đặc trưng của $A $
Nên chỉ co trị riêng thực là 0.

Nêu no co thêm đk cheo hon thì tôt rồi.
suy nghĩ tiêp....
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi becon91

Tìm ma trận A vuông cấp n (n>=2) sao cho với mọi ma trận vuông B cấp n, ta có det(A+B)=det(A)+det(B)

Ta sẽ chứng minh A=0.
Lấy B=A thì ta có det(A)=0. Do đó det(A+B)=det(B) Với mọi B.
Ta chứng minh rằng nếu ma trận A thỏa mãn điều kiện này thì các phần tử trên đường chéo chính bằng 0. Giả sử $A=(a_{ij})_{nxn} $, với mỗi k=1,...,n, chọn B là ma trận tam giác trên thỏa mãn
$b_{ij}=-a_{ij}, i<j $; $b_{ii}=1-a_{ii}, i\not= k $ và $b_{kk}=0 $.
Khi đó A+B là ma trận tam giác dưới có các phần tử trên đường chéo chính là 1 trừ vị trí thứ k, tại vị trí thứ k là $a_{kk} $
Ta có det(A+B)=$a_{kk} $, det(B)=0.
Do đó $a_{ii}=0 $ với mọi i.
Xét $A_1 $ là ma trận thu được từ A sau khi chuyển cột đầu tiên về sau cột thứ n. Dễ thấy $A_1 $ cũng thỏa mãn giả thiết trên (do sau khi đổi thứ tự các cột thì định thức đổi dấu). Do đó các phần tử trên đường chéo chính của $A_1 $ bằng 0.
Làm tương tự ta thu được A=0.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Galois_vn]

Nguyên văn bởi 123456

Ta sẽ chứng minh A=0.
trên đường chéo chính bằng 0. Giả sử $A=(a_{ij})_{nxn} $, với mỗi k=1,...,n, chọn B là ma trận tam giác trên thỏa mãn
$b_{ij}=-a_{ij}, i<j $; $b_{ii}=1-a_{ii}, i\not= k $ và $b_{kk}=0 $.
Khi đó A+B là ma trận tam giác dưới có các phần tử trên đường chéo chính là 1 trừ vị trí thứ k, tại vị trí thứ k là $a_{kk} $
Ta có det(A+B)=$a_{kk} $, det(B)=0.

Bạn noi chut về cach xây dựng B, làm sao bạn nghĩ ra cach xây dựng hay vậy ?
Thanks
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

Nguyên văn bởi Galois_vn

Bạn noi chut về cach xây dựng B, làm sao bạn nghĩ ra cach xây dựng hay vậy ?
Thanks

Cái này hình như dựa trên biểu diễn ma trận qua ánh xạ tuyến tính. Tính như trên ta cũng suy ra đựoc det A=0. Như vậy bài toán tuơng đưong với việc tìm tất cả các ma trận B sao cho det(A+B)=det(B).
Giả sử rằng A khác ma trận O. Khi đó gọi V là một ko gian n chiều trên trường F và D là một cơ sở của V. Khi đó tương ứng với ma trận A có một ánh xạ tuyến tính f thỏa mãn $A=\phi_{BB}(f) $. Do A khác ma trận O nên imf là không gian con không tầm thường của V.
Khi đó xây dựng một ánh xạ g thuộc Aut(V) như sau: Gọi $f(v_1),.,f(v_k) $ là cơ sở của imf , T là phần bù của imf trong V. Xây dựng g : $g(v_i)+f(v_i)=0 $ và $g(v)=v $ với mọi v là cơ sở của T.
Khi đó có thể thấy f+g không thuộc Aut(V), trong khi g là một phần tử của Aut(V). Tức là det(A+B)=0, trong khi det(B) khác 0.
Cách xây dựng đó có lẽ dựa trên điều này.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daudauvjem]

dễ cm detA=0,
sau đó bạn dùng bổ đề:nếu 0<rankA=r<n thì tồn tại 2 ma trận khả nghịch P và Q sao cho
A=P(I_r 0)Q
(0 0)
khi đó chọn
B=P(0 0)Q
0 I_{n-r}
khi đó dễ thấy det(A+B) khác 0 còn detA+DetB=0
từ đó suy ra chỉ có ma trận 0 thỏa ycdb
xin lỗi vì k pit gõ latex ma trận
ps: cái mình gõ
(I_r 0)
0 0
là ma trận khối ó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[study_more_91]

Nguyên văn bởi 123456

Xét $A_1 $ là ma trận thu được từ A sau khi chuyển cột đầu tiên về sau cột thứ n. Dễ thấy $A_1 $ cũng thỏa mãn giả thiết trên (do sau khi đổi thứ tự các cột thì định thức đổi dấu).

Định thức đổi dấu thì $|A_1|=|A|=0 $
chứ tính chất $|A+B|=|B| $ có được giữ nguyên đâu?
Ý mình là ko suy ra được $|A_1+B|=|B| $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi study_more_91

Định thức đổi dấu thì $|A_1|=|A|=0 $
chứ tính chất $|A+B|=|B| $ có được giữ nguyên đâu?
Ý mình là ko suy ra được $|A_1+B|=|B| $

Chú ý là giả thiết đúng với mọi ma trận B.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]