Ánh xạ tuyến tính

[vipCD]

1. Cho f là một toán tử tuyến tính trong không gian vecto hữu hạn chiều V và giả sử $r(f^2)=r(f) $. Chứng minh rằng $imf $ giao với $kerf $ bằng không

2. Cho f là toán tử tuyến tính trong không gian vecto bất kì và giả sử $f^2=0 $. Tìm mối liên hệ giữa $kerf $ và $imf $

3. Cho K là một trường con của trường các số phức C và V là một không gian vecto trên k. Giả sử f và g là những phiếm hàm tuyến tính trên V sao cho hàm h:V -> K được định nghĩa bởi $h(u)=f(u)g(u), $ mọi $u\in V $ cũng là một phiếm hàm tuyến tính trên V. Chứng minh rằng một trong hai phiếm hàm f và g phải bằng 0.

Mọi người giải giúp với!!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

1. Chú giải thích cái ký hiệu $\tau $ là gì được không?
2. $Imf\subset Kerf $
3. Bài này chưa nghĩ nhưng mà chắc cũng chỉ là giải phương trình hàm, cái mà mấy bạn phổ thông học suốt rồi còn gì ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

bài 1. r(f) chắc là $rank(f) $. Nếu $r(f)=r(f^2) $ thì f hạn chế trên Im(f) là tự đẳng cấu vì $r(f)=dim(Im(f)) $ còn $dim(Im(f|_{Im(f)}))=dim(f(Im(f)))=dim(Im(f^2))=r(f ^2) $.
Do đó $dim(Im(f|_{Im(f)}))=dim(Im(f)) $ Tức là $Im(f|_{Im(f)})=Im(f) $. Do đó $f|_{Im(f)} $ là toàn ánh từ Im(f) vào chính nó. Do đó nó là một song ánh (do không gian là hữu hạn chiều). Từ đây ta suy ra dpcm.

bài 3. Với mọi $a\in K $ ta có $h(au)=ah(u) $ với mọi u thuộc V. Ta có $h(au)=f(au)g(au)=a^2h(u) $
Do đó $ah(u)=a^2h(u) $ với mọi $a\in K, u\in V $
chọn $a\not= 0;1 $ ta có $h(u)=0 $ với mọi u trong V.
Mặt khác $h(u+v)=h(u)+h(v)=f(u)g(u)+f(v)g(v) $ với mọi u,v trong V.
ta lại có $h(u+v)=f(u+v)g(u+v)=f(u)g(u)+f(v)g(v)+f(u)g(v)+f(v )g(u) $
do đó
$f(u)g(v)+f(v)g(u)=0 $ với mọi u,v trong V.
nếu g khác không thì có $v_0\in V $ sao cho $g(v_0)=1 $ do đó $f(v_0)=f(v_0)g(v_0)=h(v_0)=0 $
thay vào đẳng thức trên ta có $f(u)=0 $ với mọi u trong V.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[gorilla]

Bài 1. a) Gọi S(n) là tập tất cả các ma trận $A=(a_{ij})\in Mat(n) $ - không gian các ma trận thực vuông cấp n - sao cho A là ma trận đối xứng. Hãy chỉ ra một cơ sở và số chiều của S(n). Hãy mô tả cụ thể phần bù đại số của S(n) trong Mat(n).
b) Chứng minh rằng Mat(n) đẳng cấu với End(V) (là R-không gia vecto các tự đồng cấu của V.)

Bài 2. Cho f là một tự đồng cấu của kgvt hữu hạn chiều V thỏa mãn $f^2=Id $. CMR:
a) $V=ker(f-Id) \bigoplus ker(f+Id) $
b) f là chéo hóa được và viết ma trận dạng chéo của f trong 1 cơ sở thích hợp của V.

Hai bài này trích từ đề thi kết thúc HP. Rất mong mọi người giúp đỡ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Bài 2 thì có khó khăn gì nhỉ? Câu a là ý chứng minh cho câu b, mà câu a thì bạn gặp khó khăn gì ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[gorilla]

Bạn có thể viết rõ lời giải cho mình tham khảo không? Còn một bài tương tự: $f^3=f $, CM $V=imf \bigoplus ker(f-Id) \bigoplus ker(f+Id) $
Cám ơn bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[evarist]

Cho $V $ là một không gian vector trên trường $\mathbb{Z}/p $, trong đó $p $ là 1 số nguyên tố. Chứng minh rằng tự đồng cấu$ f : V \rightarrow V $chéo hóa được khi và chỉ khi $f^{p} = f $

------------------------------
Post xong thì thấy mình dốt quá, rõ ràng $\mathbb{Z}/p $ là một trường thì $p $ phải là 1 số nguyên tố , bài này mang cái tội bê nguyên sách thầy Hưng vào mới thế. Rõ dốt

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nambecon]

" cho V là một không gian vector có số chiều là n trên truong K. Giả sự f la một toán tự tuyến tính trong V thỏa Imf = Kerf. Chứng minh n là một số chẵn và cho ví dụ minh họa."


mọi người ơi!!! giải giùm em cái ha!!!
am lam mất mấy ngày rùi chưa xong!!huhuh...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lyhung009]

imf=kerf =>dimimf=dimkerf. rồi xong rồi đó! ví dụ thì tự tìm nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[becon91]

Cho f,g là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V vào W.Chừng minh rằng:
Kerf = kerg thì tồn tại đẳng cấu tuyến tính h từ W vào W sao cho f=hog
------------------------------
Hỏi mọi người mấy câu:
1)Cho A là nhóm sinh bởi a. tức A={ a^k, k thuộc Z }
cấp cua A là n thì n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏ mãn a^n=e.
đúng không ( trong sách ghi thế)
Mình thấy nếu n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏ mãn a^n=e thì A phải có 2n-1 phần tử chứ (a^1-n,a^2-n,..,a^-1,e,a,...,a^n-2,a^n-1)==> cấp A là 2n-1 chứ.
2) Trong lý thuyết nhóm..
lớp ghép trái aH={a*h, h thuộc H}, * là một phép hợp thành bất kỳ gắn bới nhóm đang xét..đúng không.
Thế mà trong sách cứ viết ah trong nhiều bài tập không rõ ah là a*h (phép toán bất kỳ) hay a nhân h đây. Ví dụ như đang xét trong nhóm với phép cộng mà lại nói 2Z là tập các số nguyên chẵn thì là sai đúng không.
Có bài tập: Cho nhóm (Z,+) chứng minh A là nhóm con của Z tương đương với tồn tại m thuộc Z để A=mZ.
theo chưng minh trong sách thì mZ={m nhân h, h thuộc Z}
Đang xét nhóm (Z,+) thì mZ={ m+h, h thuộc Z} chứ.
Mong các bạn giải đáp sớm. Xin cảm ơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi becon91

Cho f,g là ánh xạ tuyến tính từ không gian vectơ V vào W.Chừng minh rằng:
Kerf = kerg thì tồn tại đẳng cấu tuyến tính h từ W vào W sao cho f=hog

Lấy ra một cơ sở của Img rồi xây dựng giá trị của h tại cơ sở đó thôi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[becon91]

Ban 99
Xây dựng thế nào nhỉ mình không biết.
Bạn nói rõ ra được không.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trangchodom]

1) A chỉ có n phần tử thôi. Vì$a^{-k}=a^{n-k} (0<k<n) $.
------------------------------
2) Đôi khi người ta hay hiểu ngầm phép toán trên nhóm được ký hiệu là phép nhân, nên a*h thường được viết là ah. Riêng trường hợp tập số nguyên Z là một vành nên nó có phép nhân trong đó, vì vậy mZ là tập hợp tất cả các số nguyên chia hết cho m. i.e $mZ = \{mk : k\in Z\} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[trangchodom]

xét ánh xạ $h_1 $ từ $Img $ vào $Imf $ như sau: Mỗi phần tử $a \in Img $ cố định phần tử $v \in g^{-1}(a) $ định nghĩa $h_1(a) = f(v). $ Do giả thiết $Kerf =Kerg $ nên $h_1 $ được xác định. Có thể thấy $h_1 $ cũng là một ánh xạ tuyến tính. Nếu $h_1(a)=0 $ thì có $v\in g^{-1}(a) $ sao cho $f(v) =0 $, i.e $v \in Kerf = Kerg $. Suy ra $a = g(v) =0 $. Vậy $h_1 $ là đơn cấu. Bây giờ nếu $b = f(v)\in Imf $ thì $ a = g(v) \in Img $ và $h_1(a) =f(v) =b $. Vậy $h_1 $ là đẳng cấu. Thác triển đẳng cấu $h_1 $ lên thành đẳng cấu $h $ từ $w $ vào $w $. Đẳng cáu $h $ này chính là đẳng cấu $h $ cần tìm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Talent]

Nguyên văn bởi gorilla

Bài 2. Cho f là một tự đồng cấu của kgvt hữu hạn chiều V thỏa mãn $f^2=Id $. CMR:
a) $V=ker(f-Id) \bigoplus ker(f+Id) $
b) f là chéo hóa được và viết ma trận dạng chéo của f trong 1 cơ sở thích hợp của V.

.

Đầu bài như thế này hình như thiếu. Vì ta còn phải có $char F $ khác 2. Với điều kiện này thì hiển nhiên hai không gian ker(f+id) và ker(f-id) chỉ có phần tử chung là $0_v $
Ta sẽ chứng minh rằng $null(f-id)+null(f+id)=dim V $
Thực thế, từ giả thiết ta dễ dàng suy ra $(f-id)(f+id)=(f+id)(f-id)=0_v $
Do đó im(f-id) là không gian con của ker(f+id) và im(f+id) là không gian con của ker(f-id).
Do đó ta luôn có $rk(f+id)+rk(f-id)\leq null(f-id)+null(f+id) $
Chú ý thêm rằng $rk(2i_d))\leq rk(f+id)+rk(f-id) $
Thêm một chú ý nữa, do V là hữu hạn chiều nên $dimV=null(f-id)+rk(f-id)=null(f+id)+rk(f+id) $
Bằng các bất đẳng thức này, ta suy ra $null(f+id)+null(f-id)=dim V $
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Theo mình thì bài 3 có thể làm tương tự.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]