Đề thi chọn đội tuyển 30-4 lần 2,chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai.

[mathandyou]

Đề thi chọn đội tuyển 30-4 lần 2

Câu 1:Giải hệ:$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{xy+(x-y)(\sqrt{xy}-2)}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y} & & \\
(x+1)[y+\sqrt{xy}+x(1-x)]=4 & &
\end{matrix}\right.$
Câu 2:Cho dãy số $(a_n)$ được xác định bởi:$\left\{\begin{matrix}
a_1=sin \frac{\pi}{2013} & & \\
a_{n+1}=a_n^2-a_n+1 & &
\end{matrix}\right.$
Đặt $b_n=a_1.a_2...a_n$.Chứng minh:$(b_n)$ hội tụ,tìm giới hạn.
Câu 3:Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $D,E$ trên cạnh $BC$ sao cho:$\frac{BD}{CD}=a\frac{CE}{BE}$ với $a>0$ là số thực cho trước.$(ADE)$ cắt $AB,AC$ tương ứng tại $M,N$.Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $AMN$ luôn di động trên đường thẳng cố định khi $D,E$ di động trên cạnh $BC$.
Câu 4:Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên [0;1],có đạo hàm trên khoảng $(0;1)$ và thỏa mãn:
i)$30f'(x)+4f(x)+2013 \leq 0$
ii)$f(0)=f(1)=-\frac{2013}{4}.$
Câu 5:Cho các số thực dương a,b thỏa:$a+b,ab$ là các số nguyên dương và $[a^2+ab]+[b^2+ab]$ là số chính phương.Chứng minh a,b là các số nguyên dương.
Câu 6:Cho tập $A={1,3,5,...,2n-1}$ trong đó $n$ là số nguyên dương.Tập $A$ được gọi là tập "tốt" nếu ta có thể chia tập $A$ thành 12 tập con rời nhau $A_1,A_2,..,A_{12}$ sao cho tổng tất cả các phần tử trong hai tập $A_i,A_j$ bằng nhau với $i$ khác $j$.
1)Chứng minh với $n=30$ thì A không là tập "tốt".
2)Tìm tất cả các giá trị của n để A là tập "tốt".

Tạch rồi.
Bài số đinh ninh đúng mà cuối cùng đọc sai đề.
Bài tổ câu a quá dễ mà nghĩ ngợi sao lại luẩn quẩn.

Không biết câu hình có phải là dạng tổng quát của bài nào không?Nghĩ tới bài toán này:
Cho tam giác ABC không cân,phân giác AD và trung tuyến AM.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB,AC tại E,F.L là trung điểm EF.Khi đó ML song song AD.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Câu số học em làm thế này, anh kiểm tra giùm em với...
[Only registered and activated users can see links. ]


Tại e k nhớ latex mà MS lại không có trang để gõ.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Cái này chú hỏi Thầy Thu chứ anh cũng không dám nói.
Anh làm bài số xong cứ tưởng là đúng,ai ngờ đề là phần nguyên mà anh cứ nghĩ nó là dấu ngoặc bình thường gì đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Juliel]

Nguyên văn bởi mathandyou

Cái này chú hỏi Thầy Thu chứ anh cũng không dám nói.
Anh làm bài số xong cứ tưởng là đúng,ai ngờ đề là phần nguyên mà anh cứ nghĩ nó là dấu ngoặc bình thường gì đó.

Số nhọ Em lo ngày thứ 7 quá
------------------------------

Nguyên văn bởi Juliel

Số nhọ Em lo ngày thứ 7 quá

Em nghĩ phần nguyên đâu có kí hiệu là [] đâu nhỉ ?

Câu hệ phương trình chuyển $\sqrt{x{}$ qua vế phải, bình phương hai vế, nhân lượng liên hợp để ép cho nó ra nhân tử $x-y$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nói chung anh tạch rồi.Chú cố lên!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi mathandyou

Câu 3:Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $D,E$ trên cạnh $BC$ sao cho:$\frac{BD}{CD}=a\frac{CE}{BE}$ với $a>0$ là số thực cho trước.$(ADE)$ cắt $AB,AC$ tương ứng tại $M,N$.Chứng minh rằng trọng tâm tam giác $AMN$ luôn di động trên đường thẳng cố định khi $D,E$ di động trên cạnh $BC$.
Câu 4:Tìm tất cả các hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên [0;1],có đạo hàm trên khoảng $(0;1)$ và thỏa mãn:
i)$30f'(x)+4f(x)+2013 \leq 0$
ii)$f(0)=f(1)=-\frac{2013}{4}.$

Câu 3.

Đây là một bài cũ trên THTT. Các bạn có thể tham khảo lời giải trong file đính kèm.
Nếu tính toán tốt thì bài này có thể giải bằng tọa độ trong vòng khoảng 30p.

Câu 4.
Từ điều kiện đầu tiên, ta thấy: $f'(x) + \frac{2}{15}(f(x)+\frac{2013}{4}) \le 0$.
Đặt $g(x) = f(x)+\frac{2013}{4}$ thì $f'(x) =g'(x)$ và $g(0)=g(1)=0$.
Ngoài ra, ta cũng có $g'(x) + \frac{2}{15}g(x) \le 0$.
Đặt tiếp $h(x) = e^{\frac{2x}{15}} . g(x)$ thì ta có $h'(x) = e^{\frac{2x}{15}} (\frac{2}{15} g(x) + g'(x)) \le 0$.
Do đó $h(x)$ nghịch biến.
Hơn nữa, ta cũng có $h(0)=h(1)=0$ nên suy ra $h(x) = 0$ với mọi $x \in [0;1]$.
Từ đó dễ dàng suy ra $f(x)$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Câu 3.

Đây là một bài cũ trên THTT. Các bạn có thể tham khảo lời giải trong file đính kèm.
Nếu tính toán tốt thì bài này có thể giải bằng tọa độ trong vòng khoảng 30p.

Câu 4.
Từ điều kiện đầu tiên, ta thấy: $f'(x) + \frac{2}{15}(f(x)+\frac{2013}{4}) \le 0$.
Đặt $g(x) = f(x)+\frac{2013}{4}$ thì $f'(x) =g'(x)$ và $g(0)=g(1)=0$.
Ngoài ra, ta cũng có $g'(x) + \frac{2}{15}g(x) \le 0$.
Đặt tiếp $h(x) = e^{\frac{2x}{15}} . g(x)$ thì ta có $h'(x) = e^{\frac{2x}{15}} (\frac{2}{15} g(x) + g'(x)) \le 0$.
Do đó $h(x)$ nghịch biến.
Hơn nữa, ta cũng có $h(0)=h(1)=0$ nên suy ra $h(x) = 0$ với mọi $x \in [0;1]$.
Từ đó dễ dàng suy ra $f(x)$.

Cám ơn anh.Cho em hỏi ý tưởng nào cho những phép đặt của bài 4 vậy ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi mathandyou

Cám ơn anh.Cho em hỏi ý tưởng nào cho những phép đặt của bài 4 vậy ạ?

Việc đặt $g(x)$ để đơn giản hóa biểu thức thì dễ thấy rồi nhé. Còn việc đặt $h(x)$ như thế thì chủ yếu là có gặp dạng này trước rồi, cố chọn hàm số tương tự để đạo hàm ra cho khớp thôi.
Chẳng hạn em có thể tham khảo thêm bài 2 ở đây:

http://forum.mathscope.org/showthread.php?p=200399

Sau này học PT vi phân thì mọi chuyện sẽ rõ ràng hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Nvthe_cht.]

Có ai làm câu tổ hợp chưa nhỉ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathandyou]

Câu a)
Giả sử n=30 thì A là tập tốt.
Khi đó tổng tất cả các phần tử trong các tập $A_i$ là 75.
Suy ra số phần tử mỗi tập con $A_i$ phải là số lẻ vì $A$ là tập các số lẻ.
Do đó số phần tử mỗi tập $A_i \geq 3$.Suy ra số phần tử 12 tập con $\geq 36$.Vô lí
Mình biết vậy à

biết vậy mà không ghi kịp

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quocbaoct10]

Bài 6 có ở [Only registered and activated users can see links. ].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]