Hình chữ nhật và hình vuông

asimothat · 20-04-2011, 05:56 PM

Một bài toán đố khá hay và giúp tư duy logic

Cho tỉ số giữa các cạnh của hình chữ nhật là k khác 1 . Hiệu chu vi giữa hình chữ nhật và hình vuông bằng p và hiệu diện tích giữa hình chữ nhật và hình vuông đạt giá trị lớn nhất . Hãy tình độ dài các cạnh của hình chữ nhật và hình vuông

**huynhcongbang** · 22-04-2011, 01:54 AM

Mình thấy bài này cứ đặt tham số vào rồi làm từ từ thôi mà.

Gọi $a, b $ là kích thước của hình chữ nhật và m là cạnh hình vuông. Ta có:
$b = k.a, k \neq 1; 2(a+b)-4m = p $ và $ab - m^2 $ đạt giá trị lớn nhất.
Thay b vào biểu thức thứ 2, ta được: $2a(k+1)-p = 4m $, suy ra:
$A = ka^2 - \left [\frac{2a(k+1)-p}{4} \right ]^2 $ đạt giá trị lớn nhất với a thay đổi và k, p cho trước.

Ta có:
$A = \frac{16ka^2 - 4a^2(k+1)^2 - p^2 + 4ap(k+1)}{16} = \frac{-a^2(k-1)^2 + ap(k+1)}{4} - \frac{p^2}{16} $
A đạt giá trị lớn nhất khi $-a^2(k-1)^2 + ap(k+1) $ lớn nhất hay $a = \frac{p(k+1)}{2(k-1)^2} $.
Từ đó tính được b và m.

20-04-2011, 05:56 PM	#1
asimothat +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 289 Thanks: 85 Thanked 162 Times in 100 Posts	Hình chữ nhật và hình vuông Một bài toán đố khá hay và giúp tư duy logic Cho tỉ số giữa các cạnh của hình chữ nhật là k khác 1 . Hiệu chu vi giữa hình chữ nhật và hình vuông bằng p và hiệu diện tích giữa hình chữ nhật và hình vuông đạt giá trị lớn nhất . Hãy tình độ dài các cạnh của hình chữ nhật và hình vuông __________________ Ultra

22-04-2011, 01:54 AM	#2
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Mình thấy bài này cứ đặt tham số vào rồi làm từ từ thôi mà. Gọi $a, b $ là kích thước của hình chữ nhật và m là cạnh hình vuông. Ta có: $b = k.a, k \neq 1; 2(a+b)-4m = p $ và $ab - m^2 $ đạt giá trị lớn nhất. Thay b vào biểu thức thứ 2, ta được: $2a(k+1)-p = 4m $, suy ra: $A = ka^2 - \left [\frac{2a(k+1)-p}{4} \right ]^2 $ đạt giá trị lớn nhất với a thay đổi và k, p cho trước. Ta có: $A = \frac{16ka^2 - 4a^2(k+1)^2 - p^2 + 4ap(k+1)}{16} = \frac{-a^2(k-1)^2 + ap(k+1)}{4} - \frac{p^2}{16} $ A đạt giá trị lớn nhất khi $-a^2(k-1)^2 + ap(k+1) $ lớn nhất hay $a = \frac{p(k+1)}{2(k-1)^2} $. Từ đó tính được b và m.