|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
04-08-2011, 11:27 AM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM Bài gởi: 397 Thanks: 136 Thanked 303 Times in 150 Posts | Topic về nguyên hàm và tích phân Chào các bạn. Mình thấy dạo này trên diễn đàn xuất hiện khá nhiều các bài BĐT, dường như ngày nào vô diễn đàn cũng đều thấy các chủ đề về BĐT. Theo như mình thấy các bài toán nguyên hàm và tích phân lời giải thường khá cơ bản, phù hợp với nhiều trình độ từ THPT tới ĐH. Do vừa mới học xong THPT nên kiến thức mình nắm chưa được nhiều nhưng cũng xin mạn phép mở 1 topic về chủ đề này, mong mọi người ủng hộ Lưu ý trước mỗi đề bài các bạn phải ghi rõ bài mấy và bôi đen gạch dưới cho mọi người tiện theo dõi. Đặc trưng của các bài này là lời giải thường không quá dài nên hy vọng các bạn cố gắng trình bày cho ra đáp số cuối cùng. Mình xin bắt đầu bằng 1 bài Bài 1: Tìm nguyên hàm: $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} $ |
04-08-2011, 12:16 PM | #2 | |
+Thành Viên+ | Trích:
$df = \dfrac{\cos x+x\sin x}{cos^2x} $,$g = \dfrac{-1}{\cos x+x\sin x} $. Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \int{\dfrac{1}{\cos^2x}dx} = \dfrac{-x}{\cos x(\cos x+x\sin x)} + \tan x + C $ Sau khi rút gọn, ta được $\int{\frac{{{x}^{2}}}{{{(\cos x+x\sin x)}^{2}}}dx} = \dfrac{\sin x-x\cos x}{\cos x + x\sin x}+C $ Bài 2. Tìm nguyên hàm: $\int{\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}e^xdx} $ thay đổi nội dung bởi: Kratos, 04-08-2011 lúc 12:22 PM | |
The Following 4 Users Say Thank You to Kratos For This Useful Post: | Conan Edogawa (04-08-2011), n.v.thanh (12-08-2011), phaituankhan19 (26-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011) |
04-08-2011, 10:42 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 69 Thanks: 10 Thanked 52 Times in 38 Posts | Bài 2: Không biết nói sao Nói chung là tách $ \frac{1+sinx}{1+cosx}=g(x)+g'(x) $ $F(x)=2tan(x/2).e^x $ __________________ Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@ thay đổi nội dung bởi: leviethai, 04-08-2011 lúc 10:55 PM |
04-08-2011, 11:40 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM Bài gởi: 397 Thanks: 136 Thanked 303 Times in 150 Posts | |
05-08-2011, 02:38 AM | #5 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Bài gởi: 280 Thanks: 152 Thanked 77 Times in 49 Posts | $\int\frac{x^2}{\left(x\sin x+\cos x\right)^2}dx $ Now $\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}. \cos x+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sin x\right) $ Now Let $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $ and $\cos \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $ so $\tan \theta =x\Leftrightarrow \theta =\tan^{-1} x $ $\left(x\sin x+\cos x\right)=\sqrt{x^2+1}\left(\cos x\cos \theta+\sin x\sin \theta\right)=\sqrt{x^2+1}.\cos(x-\theta)=\sqrt{x^2+1}.\cos\left(x-\tan^{-1} x\right) $ $\int\frac{x^2}{\left(x^2+1\right).\cos^2\left(x-\tan^{-1} x\right)}dx $ $\int\sec^2 \left(x-\tan^{-1} x\right).\frac{x^2}{1+x^2}dx $ Now $x-\tan^{-1}x=t\Leftrightarrow \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx=dt\Leftrightarrow \frac{x^2}{1+x^2}dx=dt $ $\int\sec^2 tdt =\tan \left(t\right)+C $ $=\tan\left(x-\tan^{-1} x\right)+C $ $=\frac{\tan x-\tan(\tan^{-1} x)}{1+\tan x.\tan(\tan^{-1} x)}+C $ $=\frac{\tan x- x}{1+x.\tan x}+C $ $=\frac{\sin x-x.\cos x}{\cos x+x.\sin x}+C $ ------------------------------ Bài 3: Tìm nguyên hàm: $\displaystyle \int{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}dx} $ thay đổi nội dung bởi: man111, 05-08-2011 lúc 02:45 AM Lý do: Tự động gộp bài |
The Following 5 Users Say Thank You to man111 For This Useful Post: | Conan Edogawa (05-08-2011), daylight (28-12-2012), pco (08-01-2012), phaituankhan19 (27-08-2011), thanhquang0410 (09-11-2011) |
05-08-2011, 09:46 AM | #6 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM Bài gởi: 397 Thanks: 136 Thanked 303 Times in 150 Posts | $I=\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}{{e}^{x}}dx=}\int{\frac{1+\sin x}{1+\cos x}d({{e}^{x}})={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}d\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right)}} $ $={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{{{e}^{x}}\frac{1+\cos x+\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx=}{{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}dx}{1+\cos x}-}\int{\frac{{{e}^{x}}\sin xdx}{{{(1+\cos x)}^{2}}}} $ Đặt $K=\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx,L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx}} $ Xét $ L=\int{\frac{{{e}^{x}}\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx} $ Đặt $\left\{ \begin{align} & u={{e}^{x}} \\ & dv=\frac{\sin x}{{{(1+\cos x)}^{2}}}dx \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du={{e}^{x}}dx \\ & v=\int{\frac{-d(1+\cos x)}{{{(1+\cos x)}^{2}}}=\frac{1}{1+\cos x}} \\ \end{align} \right. $ $\Rightarrow L=\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-\int{\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}dx=}\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K $ Vậy $I={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-K-\left( \frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}-K \right)+C={{e}^{x}}\frac{1+\sin x}{1+\cos x}-\frac{{{e}^{x}}}{1+\cos x}+C $ |
The Following 4 Users Say Thank You to Conan Edogawa For This Useful Post: |
05-08-2011, 10:48 AM | #7 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jun 2011 Bài gởi: 69 Thanks: 10 Thanked 52 Times in 38 Posts | .Bài mình xuất phát từ đẳng thức cũ thôi . $( e^x.f(x))'= e^x( f(x)+f'(x)) $ Và ta có :$ \frac{1+\sin x}{1+\cos x}= \frac{1+\sin x}{2\cos( \frac{x}{2})^2}= 2\tan( \frac{x}{2})+\frac{1}{\tan^2( \frac{x}{2})}=2\tan \left( \frac{x}{2} \right) + \left( 2\tan\left( \frac{x}{2} \right) \right)' $ Vậy nên ta suy ra :$F(x)= 2.\tan\left( \frac{x}{2} \right).e^x+C $ __________________ Off zòi .Hẹn gặp lại diễn đàn vào 1 ngày ko xa @@ thay đổi nội dung bởi: novae, 05-08-2011 lúc 10:53 AM |
09-08-2011, 07:31 AM | #8 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2010 Đến từ: hà nội Bài gởi: 81 Thanks: 155 Thanked 19 Times in 12 Posts | $\left( \frac{1+\sin x}{1+\cos x} \right). e^x = \left( \frac{1+\sin x}{ 2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \right).e^x = \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + \frac{e^x.\sin\left( \frac{x}{2} \right).\cos\left( \frac{x}{2} \right)}{\cos^2\left( \frac{x}{2} \right)} = \frac{e^x }{2\cos^2 \left( \frac{x}{2} \right)} + e^x .\tan \left( \frac{x}{2} \right) $ Tính tích phân này là ra thay đổi nội dung bởi: novae, 09-08-2011 lúc 08:39 AM |
13-08-2011, 10:48 AM | #9 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Bài gởi: 39 Thanks: 21 Thanked 5 Times in 3 Posts | Cho mình hỏi 2 câu: Bài 4. Tính tích phân $\int\limits_0^4 {{e^{\sqrt {2x + 1} }}dx} $. Bài 5. Tính tích phân $\int\limits_0^{\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} - {x^2} + 1}}dx} $. thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM Lý do: Đánh số bài. |
13-08-2011, 12:58 PM | #10 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | Bài 5 Bài 4 thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM |
The Following 2 Users Say Thank You to n.v.thanh For This Useful Post: | Conan Edogawa (13-08-2011), Sqrt_e (13-08-2011) |
13-08-2011, 03:17 PM | #11 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Bài gởi: 39 Thanks: 21 Thanked 5 Times in 3 Posts | Anh ơi, Bài 4 có cận là 0 thì thế cận thế nào ạ. Em làm mãi không được nhưng bấm máy tính ra nghiệm đẹp. Hình như là $\[\frac{{3\pi }}{4}\] $ |
13-08-2011, 03:54 PM | #12 | |
Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts | Trích:
Đặt $ t=\sqrt {2x + 1} $ ta cóa $t^2=(2x+1)dx $ nên $dx=tdt. $ Vật ta có: $I=\int\limits_1^3 {{e^tt}}dt} $. $I=te^t|^3_1-e^t|^3_1=... $.OK | |
13-08-2011, 04:58 PM | #13 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2011 Bài gởi: 39 Thanks: 21 Thanked 5 Times in 3 Posts | Choem hỏi thêm 2 câu nữa. Bài 6:Tính tích phân $\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\tan x + 1)dx} \] $ Bài 7: Tính tích phân $\[\int\limits_0^1 {\frac{{x.\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \] $ thay đổi nội dung bởi: novae, 13-08-2011 lúc 06:33 PM |
13-08-2011, 06:25 PM | #14 | ||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Đến từ: Trường ĐH Kinh tế TP.HCM Bài gởi: 397 Thanks: 136 Thanked 303 Times in 150 Posts | Trích:
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{4},x=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t=0 $ $\Rightarrow I=-\int_{\frac{\pi }{4}}^{0}{\ln \left[ \tan \left( \frac{\pi }{4}-t \right)+1 \right]dt=}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{1-\tan t}{1+tant}+1 \right)dt} $ $=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan t} \right)dt}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln \left( \frac{2}{1+\tan x} \right)dx}=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\left[ \ln 2-\ln (1+\tan x) \right]dx} $ $=x.\ln 2\left| _{0}^{\frac{\pi }{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\ln (1+\tan x)dx=\frac{\pi }{4}\ln 2-I} \right. $ $\Rightarrow 2I=\frac{\pi }{4}\ln 2 $ hay $I=\frac{\pi }{8}\ln 2 $ Bài này thực ra là áp dụng mệnh đề: Cho hàm số $f(x) $ liên tục trên $[a,b] $. Ta có: $\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(a+b-x)dx} $ Cách trình bày của mình như trên nhằm tránh việc áp dụng trực tiếp bổ đề .............................. Trích:
$=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right)\left| _{0}^{1}-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}d\left( \ln \left( x+\sqrt{1+{{x}^{2}}} \right) \right)} \right. $ $=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}\left( 1+\frac{x}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}} \right)\frac{dx}{x+\sqrt{1+{{x}^{2}}}}} $ $=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-\int_{0}^{1}{dx}=\sqrt{2}\ln (\sqrt{2}+1)-1 $ ------------------------------ thay đổi nội dung bởi: Conan Edogawa, 13-08-2011 lúc 07:02 PM | ||
13-08-2011, 07:13 PM | #15 |
Moderator Tham gia ngày: Nov 2009 Bài gởi: 2,849 Thanks: 2,980 Thanked 2,537 Times in 1,008 Posts | |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|