Đề Ra Kì Này - Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ

[magician_14312]

Số 421 - Tháng 7/2012

CÁC LỚP THCS

$\fbox{Bài T1/421.}$ (Lớp 6). Cho tổng gồm $2012$ số hạng $S=\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5^2}+\dfrac{3}{5^3}+ \dfrac{4}{5^4}+...+\dfrac{2012}{5^{2012}}$
Hãy so sánh $S$ với $\dfrac{1}{3}$.

$\fbox{Bài T2/421.}$ (Lớp 7). Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=40^{\circ}, \widehat{ACB}=30^{\circ}$. Bên ngoài tam giác đó dựng tam giác $ADC$ có $\widehat{ACD}= \widehat{CAD}=50^{\circ}$. Chứng minh rằng tam giác $BAD$ cân.

$\fbox{Bài T3/421.}$ Tìm tất cả các số tự nhiên $a,b,c$ với $c<20$ thỏa mãn $a^2+ab+b^2=70c$.

$\fbox{Bài T4/421.}$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=\sqrt{1-\frac{x}{y+z}}+\sqrt{1-\frac{y}{z+x}}+\sqrt{1-\frac{z}{x+y}}$$
trong đó $x,y,z$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

$\fbox{Bài T5/421.}$ Cho đường tròn $(O)$, dây cung $BC$ cố định. $A$ là điểm di động trên đường thẳng $BC$, $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AM, AN$ với đường tròn $(O), \,\ (M,N \in (O))$. Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AM$ cắt $MN$ tại $E$. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEN$ luôn đi qua hai điểm cố định khi $A$ di động trên đường thẳng $BC$.

CÁC LỚP THPT

$\fbox{Bài T6/421.}$ Cho $\dfrac{1}{3}<x \le \dfrac{1}{2}$ và $y \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{\left[(4x-1)y-x\right]^2}.$$

$\fbox{Bài T7/421.}$ Cho dãy số thực dương $(a_n), \, n=0,1,...$ được xác định như sau:
$a_0=1 $
$a_m < a_n$ với mọi $m,n \in \mathbb{N}, \,\ m<n$
$a_n=\sqrt{a_{n+1}.a_{n-1}}+1$ và $4\sqrt{a_n}=a_{n+1}-a_{n-1}$ với $n \in \mathbb{N}^{*}$.

Tính tổng $T=a_0+a_1+a_2+...+a_{2012}$.

$\fbox{Bài T8/421.}$ Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, đáy là tam giác đều cạnh $a$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $B'I \perp (ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B'$ đến mặt phẳng $(ACC'A')$ theo $a$.

TIẾN TỚI OLYMPIC TOÁN

$\fbox{Bài T9/421.}$ Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn $P^2(x)-1=4P(x^2-4x+1)$.

$\fbox{Bài T10/421.}$ Tìm $\alpha , \beta $ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left | \cos x + \alpha \cos 2x + \beta \cos 3x \right |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

$\fbox{Bài T11/421.}$ Cho tam giác $ABC$ có độ dài ba cạnh là $a,b,c$. Gọi $S$ và $p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác đó. Chứng minh bẩ đẳng thức
$$\frac{1}{a^2(p-a)^2}+\frac{1}{b^2(p-b)^2}+\frac{1}{c^2(p-c)^2} \ge \frac{9}{4S^2}.$$

$\fbox{Bài T12/421.}$ Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $BC > CA > AB$. Trên $(O)$ ta lấy sáu điểm phân biệt $M, N, P, Q ,R, S$ (không trùng với bất cứ đỉnh nào của tam giác $ABC$) sao cho $QB=BC=CR; \,\ SC=CA=AM$ và $NA=AB=BP$.

Gọi $I_A, I_B $ và $I_C$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $APS, \,\ BNR $ và $CMQ$. Chứng minh rằng $\Delta I_A I_B I_C \sim \Delta ABC$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]