|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
19-07-2012, 06:33 PM | #16 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Hồ Chí Minh city Bài gởi: 98 Thanks: 53 Thanked 126 Times in 57 Posts | Bài 9: CMR nếu $a,b\in (0;1]$ thì $$a^{b-a}+b^{a-b}\leq 2$$ __________________ |
22-07-2012, 08:09 AM | #17 | ||
Moderator Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 698 Thanks: 162 Thanked 813 Times in 365 Posts | Trích:
Trong topic hiện còn 2 bài tồn đọng, nên các bạn không post đề mới nhé Trích:
__________________ P.T.K Có xa xôi mấy mà tình xa xôi... | ||
22-07-2012, 10:59 AM | #18 | |
Moderator Tham gia ngày: Mar 2012 Đến từ: Quảng Bình Bài gởi: 19 Thanks: 17 Thanked 15 Times in 9 Posts | Trích:
| |
The Following User Says Thank You to Lê Đình Mẫn For This Useful Post: | 00000 (23-07-2012) |
22-07-2012, 02:00 PM | #19 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 698 Thanks: 162 Thanked 813 Times in 365 Posts | Trích:
$$\begin{aligned} (a^4+4)(b^4+4)&=a^4b^4+4(a^4+b^4)+16\\&=(a^4b^4+k^ 8)+4(a^4+b^4)+16-k^8\\&\ge 2k^4.a^2b^2+4(a^4+b^4)+16-k^8\\&=k^4(a^2+b^2)^2+(4-k^4)(a^4+b^4)+16-k^8\\&\ge \dfrac{k^4}{4}.(a+b)^4+\dfrac{4-k^4}{8}.(a+b)^4+16-k^8\\&=\dfrac{4+k^4}{8}.(a+b)^4+16-k^8\\&=\left[\dfrac{4+k^4}{8}.(a+b)^4+\dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4+ \dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4+ \dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4\right]+\left[16-3.\dfrac{4+k^4}{4}.(2k)^4-k^8\right]\\&=\left[\dfrac{4+k^4}{8}.(a+b)^4+\dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4+ \dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4+ \dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^4\right]\\&\ge 4(a+b).\dfrac{4+k^4}{8}.(2k)^3\\&=(a+b).4k^3(k^4+4 ) \end{aligned}$$ Suy ra $\max P=\dfrac{1}{4k^3(k^4+4)}$, đạt được khi $a=b=k$. __________________ P.T.K Có xa xôi mấy mà tình xa xôi... | |
22-07-2012, 03:32 PM | #20 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school Bài gởi: 571 Thanks: 206 Thanked 355 Times in 241 Posts | Trích:
__________________ Tú Văn Ninh | |
22-07-2012, 06:25 PM | #21 | |
Moderator Tham gia ngày: Apr 2011 Bài gởi: 698 Thanks: 162 Thanked 813 Times in 365 Posts | Trích:
Dễ thấy cần AM-GM mẫu, nhưng là AM-GM mấy số để khử được tử? Để ý tử bậc 1, còn mẫu bậc 8 nên ta sẽ AM-GM 8 số. Công việc còn lại là dễ dàng: $$a^4+4=a^4+7.\dfrac{4}{7}\ge 8\sqrt[8]{a^4.\dfrac{4^7}{7^7}}$$ Dấu bằng xảy ra khi $a=\sqrt[4]{\dfrac{4}{7}}$. __________________ P.T.K Có xa xôi mấy mà tình xa xôi... | |
The Following 10 Users Say Thank You to ptk_1411 For This Useful Post: | 1110004 (11-06-2013), Akira Vinh HD (22-07-2012), hgly1996 (26-07-2012), Hmh1996 (20-11-2012), hoang_kkk (22-07-2012), JokerNVT (22-07-2012), Lê Đình Mẫn (23-07-2012), TNP (25-07-2012), vuive97 (09-08-2012), zớt (22-07-2012) |
22-07-2012, 09:39 PM | #22 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Feb 2011 Bài gởi: 657 Thanks: 388 Thanked 470 Times in 196 Posts | Từ điều kiện bạn sẽ chứng minh được $a+b+c \ge 3$ __________________ |
23-07-2012, 02:20 PM | #23 | ||
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Apr 2012 Đến từ: Heaven Bài gởi: 579 Thanks: 10 Thanked 513 Times in 283 Posts | Trích:
Trích:
$$ \frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca} \le 3-\frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})} $$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $$ \frac{ab}{1+ab}+\frac{bc}{1+bc}+\frac{ca}{1+ca} \le \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) $$ Như vậy bài toán quay về chứng minh: $$ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\frac{9}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}+\sqrt{c}} \le 6 $$ Viết lại bất đẳng thức dưới dạng thuần nhất: $$ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+\frac{(a+b+c)\sqrt{3 (a+b+c)}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}} \le 2(a+b+c) $$ Chuẩn hóa $ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=1 \Rightarrow a+b+c=1-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}) $ Vậy ta phải chứng minh: $$ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+1-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\sqrt{3[1-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})]} \le 2[1-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})] $$ Tương đương: $$ 3[1-2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})]^3 \le [(2-5(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})]^2 $$ Hay: $$ 0 \le [1-3(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})][-8(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2+\sqrt{ab}+\sqrt {bc}+\sqrt{ca}+1] $$ Điều này hiển nhiên đúng do $ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca} \le \dfrac{1}{3} $ thay đổi nội dung bởi: Snow Bell, 24-07-2012 lúc 12:29 AM | ||
The Following User Says Thank You to Snow Bell For This Useful Post: | TrauBo (26-07-2012) |
25-07-2012, 03:22 AM | #24 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: HUS Bài gởi: 81 Thanks: 58 Thanked 56 Times in 35 Posts | Không mất tính tổng quát, giả sử $0 < b \le a \le 1$ Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli: Vì $0 \le a-b \le 1$ nên $b^{a-b}=(b-1+1)^{a-b} \le 1+(b-1)(a-b)$ $$\Rightarrow a^{b-a}+b^{a-b} \le 1+(b-1)(a-b)+a^{b-a}$$ Do đó ta cần chứng minh: $$a^{b-a}+(b-1)(a-b) \le 1$$ Đặt $t=b-a$ ($-1 \le t \le 0$) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $a^t-t(a+t-1) \le 1$ (1) Xét hàm số $f(t)=a^t-t(a+t-1) \Rightarrow f'(t)=t \ln a - a-2t+1$ Phương trình $f'(t)=0$ có nghiệm $t=\dfrac{a-1}{\ln a -2} \ge 0$ Do đó với $-1 \le t \le 0$ thì $f'(t) \ge 0 \Rightarrow f(t)$ nghịch biến. $\Rightarrow f(t) \le f(0)=1 \Rightarrow a^t-t(a+t-1) \le 1$ ((1) đúng) (đpcm) __________________ "I don't quit once I step on court" thay đổi nội dung bởi: pexea12, 25-07-2012 lúc 08:35 PM |
25-07-2012, 10:54 AM | #25 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Bài 10:Cho $a,b,c> 0 $.CMR $$\dfrac{a^{3}c}{1+c(a^{2}+b^{2})}+d\frac{b^{3}a}{ 1+a(b^{2}+c^{2})}+ \dfrac{c^{3}b}{1+b(c^{2}+a^{2})}\geq \dfrac{abc(a+b+c)}{1+2abc}$$ __________________ thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 25-07-2012 lúc 10:33 PM Lý do: Đặt công thức vào thẻ $$ $$ |
25-07-2012, 07:03 PM | #26 | |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Dec 2011 Đến từ: Trần Đại Nghĩa high school Bài gởi: 571 Thanks: 206 Thanked 355 Times in 241 Posts | Trích:
$$VT=\sum \dfrac{a^3c+ab^2c+a}{1+c(a^2+b^2)}=a+b+c-\sum \dfrac{a}{1+c(a^2+b^2)}-\sum \dfrac{ab^2c}{1+c(a^2+b^2)}$$ Áp dụng Cauchy: $$a^2+b^2\ge 2ab \Rightarrow c(a^2+b^2)\ge 2abc$$ $$\Rightarrow VT\ge a+b+c-\dfrac{a+b+c}{1+2abc}-\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2abc}$$ Mặt khác ta có: $$a+b+c=\dfrac{(a+b+c)(1+2abc)}{1+2abc}=\dfrac{(a+ b+c)}{1+2abc}+\dfrac{2abc(a+b+c)}{1+2abc}$$ $$\Rightarrow a+b+c-\dfrac{a+b+c}{1+2abc}-\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2abc}=\dfrac{abc(a+b+c)}{1+2a bc}$$ Vậy ta có đpcm __________________ Tú Văn Ninh | |
25-07-2012, 07:19 PM | #27 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Bài 11:Cho $ x,y,z>0 $.Tìm GTLN của biểu thức: $$P=\dfrac{x+y}{\sqrt[3]{2x^{3}+6y^{3}+xy(y-x)}+\sqrt[3]{2y^{3}+6x^{3}+xy(x-y)}}$$ __________________ thay đổi nội dung bởi: ptk_1411, 25-07-2012 lúc 10:33 PM |
25-07-2012, 10:33 PM | #28 | |
+Thành Viên+ | Trích:
$2a^3+b^3 \ge 3a^2b$ $2a^2+ab+5b^2 \ge (2a+b)^2$ Với $a,b \ge 0$ Bài tiếp này: Bài 12: Cho các số thực dương $x,y,z $ thỏa mãn: $x+y+z=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A=\dfrac{1}{xyz}-54(x^3+y^3+z^3)-(\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{xz}+\dfrac{z}{yx})$ thay đổi nội dung bởi: Trầm, 25-07-2012 lúc 10:50 PM Lý do: Đánh số bài. | |
25-07-2012, 11:20 PM | #29 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2011 Bài gởi: 303 Thanks: 129 Thanked 130 Times in 81 Posts | Bạn làm rõ hơn được không?Cách này không giống cách mìnhVới cả đánh giá thứ 2 sai rồi __________________ thay đổi nội dung bởi: vjpd3pz41iuai, 25-07-2012 lúc 11:32 PM |
26-07-2012, 09:20 AM | #30 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 71 Thanks: 56 Thanked 57 Times in 36 Posts | Mình muốn trao đổi thêm một chút về bài toán 10. Bài toán thực chất là bài toán sau. Để thấy điều này bạn chia cả 2 vế cho abc Cho a,b,c là các số thực dương, m là số thực không âm. Khi đó ta có: $\frac{a^3}{a^2+b^2+mab}+\frac{b^3}{b^2+c^2+mbc}+ \frac{c^3}{c^2+a^2+mca}\ge\frac{a+b+c}{2+m} $ Bài toán này chứng minh bằng AM-GM ngược dấu. Bài toán trên thực chất là $m=\frac{1}{abc} $ Bạn có thể thay đổi tùy ý m để được các bất đẳng thức khác và có thể sáng tạo ra nhiều bất đẳng thức khác cho dạng toán này và các bạn có thể tham khảo thêm ở các bài giảng về bất đẳng thức côsi của thầy nguyễn vũ lương.Chúc toàn thể diễn đàn ngày mới vui vẻ và làm việc hiệu quả. thay đổi nội dung bởi: hoangduyenkhtn, 26-07-2012 lúc 09:25 AM Lý do: bổ sung thêm |
The Following User Says Thank You to hoangduyenkhtn For This Useful Post: | trandaiduongbg (16-05-2014) |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|