Bất đẳng thức

[yeu]

Dùng phương pháp dồn biến( ra biên),chứng minh rằng
$\frac{x}{{y^2 + z^2 + t^2 }} + \frac{y}{{z^2 + t^2 + x^2 }} + \frac{z}{{t^2 + x^2 + y^2 }} + \frac{t}{{x^2 + y^2 + z^2 }} \ge \frac{4}{{x + y + z + t}} $
với mọi bộ bốn số không âm $x,y,z,t $;trong đó ,có ít nhất hai số khác $0 $
Bạn nào có nhiều cách giải thì post nhé,Xin cảm ơn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Persian]

Nguyên văn bởi yeu

Dùng phương pháp dồn biến( ra biên),chứng minh rằng
$\frac{x}{{y^2 + z^2 + t^2 }} + \frac{y}{{z^2 + t^2 + x^2 }} + \frac{z}{{t^2 + x^2 + y^2 }} + \frac{t}{{x^2 + y^2 + z^2 }} \ge \frac{4}{{x + y + z + t}} $
với mọi bộ bốn số không âm $x,y,z,t $;trong đó ,có ít nhất hai số khác $0 $
Bạn nào có nhiều cách giải thì post nhé,Xin cảm ơn

Không dùng dồn biến

BĐT$ \Leftrightarrow (x+y+z+t)\frac{x}{{y^2 + z^2 + t^2 }} + \frac{y}{{z^2 + t^2 + x^2 }} + \frac{z}{{t^2 + x^2 + y^2 }} + \frac{t}{{x^2 + y^2 + z^2 }} \geq 4 $
Mà theo BĐT $Cauchy-schwarz $ thì
$VT \geq (\sum\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2+t^2}}})^2 =(\sum{\frac{x^2}{\sqrt{x^2(y^2+z^2+t^2)}})^2 $
Mà theo BĐT AM-GM thì
$\frac{x^2}{\sqrt{x^2(y^2+z^2+t^2)}} \geq \frac{2x^2}{x^2+y^2+z^2+t^2} $
Xây dựng các BĐT tương tự
$=>VT \geq 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi Persian

Không dùng dồn biến

BĐT$ \Leftrightarrow (x+y+z+t)\frac{x}{{y^2 + z^2 + t^2 }} + \frac{y}{{z^2 + t^2 + x^2 }} + \frac{z}{{t^2 + x^2 + y^2 }} + \frac{t}{{x^2 + y^2 + z^2 }} \geq 4 $
Mà theo BĐT $Cauchy-schwarz $ thì
$VT \geq (\sum\frac{x}{\sqrt{y^2+z^2+t^2}}})^2 =(\sum{\frac{x^2}{\sqrt{x^2(y^2+z^2+t^2)}})^2 $
Mà theo BĐT AM-GM thì
$\frac{x^2}{\sqrt{x^2(y^2+z^2+t^2)}} \geq \frac{2x^2}{x^2+y^2+z^2+t^2} $
Xây dựng các BĐT tương tự
$=>VT \geq 2 $

Thế dấu '=' ở đâu bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Persian]

Nguyên văn bởi daylight

Thế dấu '=' ở đâu bạn?

Ko có dấu "=" xảy ra
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Dấu $= $ xảy ra khi có 2 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Persian]

Nguyên văn bởi yeu

Dùng phương pháp dồn biến( ra biên),chứng minh rằng
$\frac{x}{{y^2 + z^2 + t^2 }} + \frac{y}{{z^2 + t^2 + x^2 }} + \frac{z}{{t^2 + x^2 + y^2 }} + \frac{t}{{x^2 + y^2 + z^2 }} \ge \frac{4}{{x + y + z + t}} $
với mọi bộ bốn số không âm $x,y,z,t $;trong đó ,có ít nhất hai số khác $0 $
Bạn nào có nhiều cách giải thì post nhé,Xin cảm ơn

Sử dụng BDT Chebyshev ta có
$4VT \geq (x+y+z+t)(\sum{\frac{1}{z^2 + t^2 + x^2}}) $
Ta chỉ cần cm
$\sum{\frac{1}{z^2 + t^2 + x^2}} \geq \frac{16}{(x+y+z+t)^2} $

Đây là TH cho 4 số
[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi novae

Dấu $= $ xảy ra khi có 2 số bằng 0, 2 số còn lại bằng nhau

Đúng là dấu '=' xảy ra khi này nhưng mà theo lời giải thì không có dấu '='
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leviethai]

Nguyên văn bởi daylight

Đúng là dấu '=' xảy ra khi này nhưng mà theo lời giải thì không có dấu '='

Thực tế là Cauchy Schwarz như vậy thì dấu bằng có xảy ra.

Thứ nhất, dấu bằng của Cauchy Schwarz ở dạng phân thức với quy ước mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0.

Thứ hai, bước AM-GM vẫn đảm bảo dấu bằng ở 0, ví dụ:
$\dfrac{x}{\sqrt{y^2+z^2+t^2}} \ge \dfrac{2x^2}{x^2+y^2+z^2+t^2} $

Khi AM-GM như trên thực chất có 2 dấu bằng, đó là $x=0 $ hoặc $x^2=y^2+z^2+t^2 $.

Nói tóm lại, lời giải là đúng, chỉ là không xét các trường hợp khi các biến bằng 0 (khi đó thì bất đẳng thức sẽ dễ chứng minh hơn, chứ không có gì quá lớn xảy ra)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]