Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Tài Liệu > Đề Thi > Đề Thi HSG Cấp Tỉnh ở Việt Nam

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 01-10-2018, 07:01 PM   #31
ncthanh
Moderator
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Đến từ: THPT Chuyên Bảo Lộc
Bài gởi: 14
Thanks: 45
Thanked 7 Times in 6 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post

$\boxed{11}$ [Phú Thọ] Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn$$f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy)\quad\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
Dễ thấy nếu $f\left( x \right)$ là hàm hằng thì $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Giả sử tồn tại hàm $f\left( x \right)$ khác hằng thỏa mãn: \[f(f(x)-y^2)=f(x^2)+y^2f(y)-2f(xy),\quad\forall x,y\in \mathbb{R} \quad(1).\]
Lúc đó:
Trong $(1)$ thay $y=1$ ta có: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(2).\]
Thay $y=-1$ vào $(1)$ ta lại được: \[f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + f\left( -1 \right) - 2f\left(- x \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(3).\]
Do đó, từ $(2)$ và $(3)$ ta có: \[2f\left( x \right) + f\left( { - 1} \right) = 2f\left( { - x} \right) + f\left( 1 \right), \quad\forall x\in \mathbb{R} \quad(4).\]
Trong $(4)$, cho $x=1$ ta có $f\left( 1 \right) = f\left( { - 1} \right)$ nên $(4)$ tương đương với: \[f\left( x \right) = f\left( { - x} \right), \quad\forall x\in \mathbb{R}.\]
Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta có: $f\left( {f\left( 1 \right) - 1} \right) = 0$, do đó tồn tại số thực $a$ sao cho $f\left( a \right) = 0.$
Thay $x=a$, $y=0$ vào $(1)$ ta có: $f\left( 0 \right) = - 2f\left( 0 \right)$, suy ra $f\left( 0 \right) = 0.$
Thay $x=a$ vào $(1)$ ta có: \[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(5).\]
Thay $x=0$ vào $(1)$ ta lại có:\[f\left( {{y^2}} \right) = {y^2}f\left( y \right) - 2f\left( {ay} \right),\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(6).\]
Từ $(5)$ và $(6)$ ta có: \[f\left( {ay} \right) = 0,\quad\forall y\in \mathbb{R} \quad(7).\]
Suy ra $f\left( x \right)=0$ khi và chỉ khi $x=0$, bởi nếu không, do $a$ khác $0$ nên đẳng thức $(7)$ tương đương với $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$, vô lý!!
Tiếp tục thay $y$ bởi $x$ vào $(1)$ ta được: \[f\left( {f\left( x \right) - {x^2}} \right) = 0,\forall x\in \mathbb{R}.\]
Suy ra $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$.
Thử lại, ta kết luận phương trình có 2 nghiệm hàm $f\left( x \right) \equiv 0,\forall x\in \mathbb{R}$ và $f\left( x \right) = {x^2},\forall x\in \mathbb{R}$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: ncthanh, 01-10-2018 lúc 07:03 PM
ncthanh is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-10-2018, 12:31 PM   #32
nguyenhaan2209
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2017
Bài gởi: 7
Thanks: 1
Thanked 6 Times in 4 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Thụy An View Post
Lời giải sai, vì $2+6+13+12+11+7+14+28=93$ và\[\left( {\frac{{93}}{{41}}} \right) = \left( {\frac{{11}}{{41}}} \right) = - 1.\]
Để ý 15 là căn nguyên thủy mod 41, thế là xong!
Em gõ sai bộ em xin sửa lại như sau ạ: $(2,6,13,12,11,7,15,17,19,29,28,14,22,34,30,25,24, 35,29,27,261,38,37,23,32,9,3,36,4,5,8,33,10,16,40, 31,21,20,39,25,18)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: nguyenhaan2209, 02-10-2018 lúc 07:06 PM
nguyenhaan2209 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-10-2018, 02:51 PM   #33
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 73
Thanks: 1
Thanked 52 Times in 37 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguyenhaan2209 View Post
Em gõ sai bộ em xin sửa lại như sau ạ: $(2,6,13,12,11,7,14,15,17,28,19,22,34,30,25,24,35, 29,27,261,38,37,23,32,9,3,36,4,5,8,33,10,16,40,31, 21,20,39,25,18)$
Lời giải vẫn sai, vì $2+6+13+12+11+7+14+15+17=97$ và\[\left( {\frac{{97}}{{41}}} \right) = \left( {\frac{{15}}{{41}}} \right) =\left( {\frac{{3}}{{41}}} \right) \left( {\frac{{5}}{{41}}} \right)= - 1.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 02-10-2018, 03:49 PM   #34
chemthan
Super Moderator
 
chemthan's Avatar
 
Tham gia ngày: Mar 2009
Bài gởi: 341
Thanks: 0
Thanked 297 Times in 153 Posts
Trích:
$\boxed{20}$ [Sài Gòn] Gọi $S$ là tập hợp các hoán vị của 164 số nguyên dương đầu tiên.
  1. Tồn tại hay không một hoán vị $\left(a_1,\,a_2,\,\ldots ,\,a_{164}\right)\in S$, thỏa mãn với mỗi $i\in\{1,\,2,\,\ldots ,\,164\}$ luôn tồn tại $b_i\in\{0,\,1,\,\ldots ,\,40\}$ sao cho $a_1+a_2+\ldots+a_i\equiv b_i^2\pmod{41}$.
Không biết có lời giải đẹp không, chứ lời giải xét từng số dư cho 41 quá bẩn.
Đầu tiên xây dựng dãy: $\{0, 1, 40, 2, 39, 4, 37, 5, 36, 8, 33, 9, 32, 10, 31, 16, 25, 18, 23, 20, 21\}$. Với 20 số còn lại, ta chia thành 10 cặp mà tổng 2 số của 1 cặp chia hết cho 41. Với một cặp $(a, b)$ mà $a < b$, có thể kiểm tra được rằng tồn tại $i \in \{1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20\}$, $j \in \{21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40\}$ mà $b + i \equiv j$ modulo 41. Chèn cặp số $(b, a)$ vào ngay sau $i$ là xong.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemthan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 06-10-2018, 05:08 AM   #35
kenzie
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: May 2017
Bài gởi: 15
Thanks: 2
Thanked 3 Times in 3 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post
$\boxed{25}$ [Bắc Ninh] Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$, biết rằng\[n\mid P\left(2^n\right)\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\]
Với mỗi số nguyên dương $k$ cho trước và số nguyên tố $p$ bất kỳ, theo định lý Fermat bé ta có\[{2^{kp}} \equiv {2^k}\quad \left( {\bmod p} \right).\]Do $P(x)\in\mathbb Z[x]$ nên kéo theo\[0 \equiv P\left( {{2^{kp}}} \right) \equiv P\left( {{2^k}} \right)\quad \left( {\bmod p} \right).\]Từ đó, $P\left( {{2^k}} \right)=0\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$, tức là $P(x)$ có vô số nghiệm thực nên kéo theo $P(x)=0\;\forall\,x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
kenzie is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 11-10-2018, 10:24 PM   #36
anysu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 6
Thanks: 1
Thanked 0 Times in 0 Posts
Bài 5 phần số học:
Xét dãy $(c_n)$ thỏa mãn:$c_0=1,c_1=2,c_2=5,c_{n+2}=3c_{n+1}-c_{n}$
Dễ thấy mọi phần tử của dãy đều là số nguyên
Theo quy nạp,ta có:$a_n=c_n^2-1$ với mọi $n \in Z^+$
=>$a_n+5=c_n^2+4$
do 2027 có ước nguyên tố dạng $4k+3$ nên2027 không là ước của $c_n^2+4=a_n+5$ với mọi $n \in Z^+$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: anysu, 11-10-2018 lúc 10:27 PM
anysu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-10-2018, 02:47 PM   #37
Arjuna
Café Noir
 
Arjuna's Avatar
 
Tham gia ngày: Sep 2008
Bài gởi: 4
Thanks: 1
Thanked 5 Times in 2 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE View Post
$\boxed{12}$ [PTNK]Cho số tự nhiên $p$, xét phương trình nghiệm nguyên $x^3+x+p=y^2$ (*). Chứng minh rằng nếu $p$ là số chính phương thì (*) luôn có nghiệm $x\ne 0$.
Với $x=8p\left(8p^2+1\right)$, có luôn\[{x^3} + x + p = p{\left( {512{p^4} + 96{p^2} + 3} \right)^2}.\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Arjuna is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-10-2018, 08:30 AM   #38
sieunhanbachtang
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 15
Thanks: 6
Thanked 2 Times in 2 Posts
Bài 8 phần số học:Ta có thể tổng quát hóa kết quả bài toán như sau:
Cho 2 đa thức $P(x),Q(x) \in Z[x]$ thỏa mãn $P,Q$ nguyên tố cùng nhau.Đặt $a_n=(|P(n)|,|Q(n)|) \forall n\in Z^+$,khi đó dãy $a_n$ tuần hoàn
CM: Do $P,Q$ ntcn,nên tồn tại $R,S\in Z[x]$ sao cho $PR+QS=c$
Do đó $a_n|c \forall n$
Mặt khác $P(n+c)=P(n)(mod c),Q(n+c)=Q(n)(mod c)$,tồn tại $a,b$ để $aP(n)+bQ(n)=a_n=aP(n+c)+b(Q(n+c)(mod c)$ nên $a_n=aP(n+c)+bP(n+c)(mod a_{n+c})$ hay $a_{n+c}|a_n$hoàn toàn tương tự ta cx có $a_n|a_{n+c}$ nên dãy $a_n$ tuần hoàn chu kì $c$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: sieunhanbachtang, 13-10-2018 lúc 08:33 AM
sieunhanbachtang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 08:45 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 71.36 k/81.02 k (11.93%)]