Bài tập liên quan định lí Lyapunov

[tnkh]

Cho các biến ngẫu nhiên $X_1,...,X_n,... $độc lập có phân phối
$P(X_n=n^\alpha)=P(X_n=n^{-\alpha})=\dfrac{1}{2n^\beta};\;P(X_n=0)=1-\dfrac{1}{n^\beta} $
Tìm $\alpha,\;\beta $sao cho thỏa mãn điều kiện của định lý Lyapunov.
Mình bế tắc rồi, rất mong được sự giúp đỡ từ các bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lao_ackybman]

Bạn ơi.
bạn học giáo trình nào mà có định lý lạ vậy!
bậc đại học có ko bạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tnkh]

Nguyên văn bởi lao_ackybman

Bạn ơi.
bạn học giáo trình nào mà có định lý lạ vậy!
bậc đại học có ko bạn.

Mình đọc trong sách thầy Tô Anh Dũng : Lý thuyết xác suất và thông kê, NXB Đại Học Quốc Gia TP.HCM.Bạn có thể tham khảo trong đo.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[alpha001]

Lý thuyết ổn định Lyapunov.?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tnkh]

Nguyên văn bởi alpha001

Lý thuyết ổn định Lyapunov.?

Bạn có thể tham khảo : [Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi tnkh

Cho các biến ngẫu nhiên $X_1,...,X_n,... $độc lập có phân phối
$P(X_n=n^\alpha)=P(X_n=n^{-\alpha})=\dfrac{1}{2n^\beta};\;P(X_n=0)=1-\dfrac{1}{n^\beta} $
Tìm $\alpha,\;\beta $sao cho thỏa mãn điều kiện của định lý Lyapunov.
Mình bế tắc rồi, rất mong được sự giúp đỡ từ các bạn.

Ta có nhận xét sau:
$\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}\sim \ln N $
và
$\sum_{n=1}^N n^a \sim N^{1+a} $ với $a> -1 $

Trước hết ta giả thiết $\alpha\geq 0 $. Dễ thấy $\beta\geq 0 $. Nếu $\beta=0 $ thì $P(X_n=n^{\alpha})=P(X_n=n^{-\alpha})=\frac{1}{2} $; Do đó, nếu $\alpha=0 $ thì $X_n\equiv 1 $ với mọi n. Nếu $\alpha >0 $, thì
$EX_n=\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2}, EX_n^2=\frac{n^{2\alpha}+n^{-2\alpha}}{2}, DX_n=(\frac{n^{\alpha}-n^{-\alpha}}{2})^2\sim n^{2\alpha} $
Do đó
$B_N=\sum_{n=1}^N DX_n\sim \sum_{n=1}^N N^{2\alpha}\sim N^{1+2\alpha} $
Và
$E|X_n-EX_n|^{2+\delta}=(\frac{n^{\alpha}-n^{-\alpha}}{2})^{2+\delta}\sim n^{(2+\delta)\alpha} $
do đó
$\sum_{n=1}^NE|X_n-EX_n|^{2+\delta}\sim\sum_{n=1}^N n^{(2+\delta)\alpha}\sim N^{1+(2+\delta)\alpha} $
Do đó
$\frac{\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}}{B_N^{1+\frac{\delta}{2}}}\sim \frac{N^{1+(2+\delta)\alpha}}{N^{(1+2\alpha)(1+ \delta /2)}}=N^{-\frac{\delta}{2}}\to 0 $
với $\delta > 0 $, nên thỏa mãn đk Lyapunov.

Nếu $\beta > 0 $, ta có
$EX_n=\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2n^{\beta}}, DX_n=EX_n^2-(EX_n)^2=\frac{n^{2\alpha}+n^{-2\alpha}}{2n^{\beta}}-(\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2n^{\beta}})^2=n^{2\alpha-\beta}[\frac{1+n^{-4\alpha}}{2}-(\frac{1+n^{-2\alpha}}{2})^2 n^{-\beta}]\sim n^{2\alpha-\beta} $
Do đó nếu $2\alpha-\beta <-1 $ ta có
$B_N=\sum_{n=1}^N DX_n\sim\sum_{n=1}^Nn^{2\alpha-\beta}\leq C \forall N $
Do đó
$\frac{\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}}{B_N^{1+\frac{\delta}{2}}}\not\to 0 $ $\forall \delta > 0 $
nên không thỏa mãn dk Lyapunov.
Nếu $2\alpha-\beta> -1 $ với $\delta>0 $ ta có
$E|X_n-EX_n|^{2+\delta}=(n^{\alpha}-\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2n^{\beta}})^{2+\delta}\frac{1}{2n^{\beta }}+(n^{-\alpha}-\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2n^{\beta}})^{2+\delta}\frac{1}{2n^{\beta }}+(\frac{n^{\alpha}+n^{-\alpha}}{2n^{\beta}})^{2+\delta}(1-\frac{1}{n^{\beta}})\sim n^{(2+\delta)\alpha-\beta} $
do đó
$\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}\sim\sum_{n=1}^N n^{(2+\delta)\alpha-\beta}\sim N^{1+(2+\delta)\alpha-\beta} $
và
$B_N=\sum_{n=1}^N DX_n\sim\sum_{n=1}^Nn^{2\alpha-\beta}\sim N^{1+2\alpha-\beta} $
Do đó
$\frac{\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}}{B_N^{1+\frac{\delta}{2}}}\sim \frac{N^{1+(2+\delta)\alpha-\beta}}{N^{(1+2\alpha-\beta)(1+\delta /2)}}=N^{-(1-\beta)\delta/2} $
do đó dk Lyapunov thỏa mãn nếu $\beta < 1 $.
Nếu $2\alpha-\beta=-1 $, ta có $B_N\sim \ln N $.
nếu $\alpha=0 $, thì $\beta=1 $ do đó
$\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}\sim \ln N $
do đó
$\frac{\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}}{B_N^{1+\frac{\delta}{2}}}\sim(\l n N)^{-\delta/2}\to 0 $
do đó thỏa mãn dk Lyapunov.
nếu $\alpha > 0 $ thì
$\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}\sim\sum_{n=1}^N n^{(2+\delta)\alpha-\beta}\sim N^{1+(2+\delta)\alpha-\beta} $ ( do $\delta > 0 $ thì $(2+\delta)\alpha-\beta > -1 $)
do đó
$\frac{\sum_{n=1}^N E|X_n-EX_n|^{2+\delta}}{B_N^{1+\frac{\delta}{2}}}\sim \frac{N^{1+(2+\delta)\alpha-\beta}}{(\ln N)^{1+ \delta/2}}\to \infty $
với mọi $\delta > 0 $do đó, không thỏa mãn dk Lyapunov.
Tóm lại, với $\alpha\geq 0 $ dk Lyapunov thỏa mãn khi
$\{\alpha > 0;\beta=0\} $ hoặc $\{2\alpha-\beta>-1, 0<\beta<1\}=\{\alpha\geq 0, 0<\beta<1\} $ hoặc $\{\alpha=0, \beta=1\} $.

Khi $\alpha\leq 0 $, đặt $\gamma=-\alpha\geq 0 $, thì như trên ta có dk Lyapunov thỏa mãn khi:
$\{\gamma > 0;\beta=0\} $ hoặc $\{\gamma\geq 0, 0<\beta<1\} $ hoặc $\{\gamma=0, \beta=1\} $.
Từ hai kết quả trên ta thấy, dk Lyapunov thỏa mãn khi
$\{\beta=0, \alpha\not=0\} $ hoặc $\{\alpha=0, \beta=1\} $ hoặc $\{0<\beta<1\} $

ps: vừa nghĩ vừa viết nên hơi lằng nhằng một tí, nhưng cách làm chắc là như vậy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tnkh]

Cảm ơn 123456 rất nhiều!
Một bài về luật số lớn :
Cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
$P(X_n=k)=\dfrac{C}{k^2(lgk)^2},\;\left(k\ge,\;C^{-1}=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^2(lgk)^2}\right) $
Chứng minh dãy này thỏa luật số lớn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi tnkh

Một bài về luật số lớn :
Cho dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối
$P(X_n=k)=\dfrac{C}{k^2(lgk)^2},\;\left(k\ge,\;C^{-1}=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k^2(lgk)^2}\right) $
Chứng minh dãy này thỏa luật số lớn.

Theo luật mạnh số lớn Kolmogorov, chỉ cần chứng minh $E|X_1|<\infty $, mà
$E|X_1|=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{C}{k(\ln k)^2}<\infty $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]