Bài toán xác suất

**truongvoki_bn** · 15-08-2013, 02:20 PM

Bài toán:
Trong rạp xem phim có n chỗ ngồi được đánh số, n người có vé vào ngồi một cách ngẫu nhiên. Tìm xác xuất để có m người ngồi đúng chỗ.

**Fool's theorem** · 15-08-2013, 10:11 PM

Xác suất để có $m $ người ngồi đúng chỗ là:
$\frac{C^{m}_{n}.(n-m)!}{n!} = \frac{1}{m!} $
Đây hoàn toàn là dựa vào hiểu biết ít ỏi về xác suất ở cấp 3 nên không chắc có đúng không ạ

**huynhcongbang** · 16-08-2013, 12:55 AM

Trích:

Nguyên văn bởi Fool's theorem

Xác suất để có $m $ người ngồi đúng chỗ là:
$\frac{C^{m}_{n}.(n-m)!}{n!} = \frac{1}{m!} $
Đây hoàn toàn là dựa vào hiểu biết ít ỏi về xác suất ở cấp 3 nên không chắc có đúng không ạ

Theo anh hiểu thì ý nghĩa công thức của em là tính số cách xếp mà có đúng m người đúng chỗ rồi chia cho số hoán vị là $n!$. Chọn ra $m$ người xếp đúng chỗ thì có $C^m_n$ cách, nhưng còn $n-m$ người mà không có ai trong số họ xếp đúng chỗ thì không phải $(n-m)!$ đâu.

Em xem thêm ở đây nhé: http://en.wikipedia.org/wiki/Derangement

**Fool's theorem** · 16-08-2013, 01:02 AM

Trích:

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Theo anh hiểu thì ý nghĩa công thức của em là tính số cách xếp mà có đúng m người đúng chỗ rồi chia cho số hoán vị là $n!$. Chọn ra $m$ người xếp đúng chỗ thì có $C^m_n$ cách, nhưng còn $n-m$ người mà không có ai trong số họ xếp đúng chỗ thì không phải $(n-m)!$ đâu.

Em xem thêm ở đây nhé: [Only registered and activated users can see links. ]

Dạ không em biết là để $n-m$ người còn lại đều không được xếp đúng chỗ thì công thức đó là sai. Nhưng em hiểu đề bài là xác suất để có $\geq$ $m$ người ngồi đúng chỗ ạ ( có thể em hiểu sai đề

)
Cảm ơn anh về công thức kia ạ, lần đầu em thấy

**truongvoki_bn** · 16-08-2013, 12:10 PM

Xác xuất cần tính sẽ bằng tích của hai xác suất sau:
+) "Có m người người đúng chỗ" ( $=\frac{C^{m}_{n}}{A^{m}_{n}}$ như công thức trên của bạn)
+) " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

Nhưng mình vẫn chưa thể tính được xác suất " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

**Fool's theorem** · 16-08-2013, 01:04 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Xác xuất cần tính sẽ bằng tích của hai xác suất sau:
+) "Có m người người đúng chỗ" ( $=\frac{C^{m}_{n}}{A^{m}_{n}}$ như công thức trên của bạn)
+) " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

Nhưng mình vẫn chưa thể tính được xác suất " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

Vậy đúng là em hiểu sai đề thật.
Còn về công thức $n-m$ người sai chỗ thì anh huynhcongbang có dẫn link phía trên rồi đó ạ
[Only registered and activated users can see links. ]

Tuannthd · 16-08-2013, 03:41 PM

Trích:

Nguyên văn bởi truongvoki_bn

Xác xuất cần tính sẽ bằng tích của hai xác suất sau:
+) "Có m người người đúng chỗ" ( $=\frac{C^{m}_{n}}{A^{m}_{n}}$ như công thức trên của bạn)
+) " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

Nhưng mình vẫn chưa thể tính được xác suất " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ"

Theo e thì thế này

m-n người sai chỗ chính là 1 hoán vị m-n phần tử mà ko có điểm bất động, là $S_{m-n}$
Với cái công thức tường minh hình như là dư lày $S_n = n!( \sum_{i=2}^n (-1)^i\frac{1}{i!})$

Còn có đúng m người ngồi đúng chỗ là hoán vị có đúng m điểm bất động của n phần tử và là $C_n^m.S_{n-m}$

@Fool's theorem: theo mình thì hiểu đề theo cách của bạn thì tính như bạn vẫn sai vì bị lặp

**Fool's theorem** · 16-08-2013, 08:51 PM

Trích:

Nguyên văn bởi Tuannthd

Theo e thì thế này

m-n người sai chỗ chính là 1 hoán vị m-n phần tử mà ko có điểm bất động, là $S_{m-n}$
Với cái công thức tường minh hình như là dư lày $S_n = n!( \sum_{i=2}^n (-1)^i\frac{1}{i!})$

Còn có đúng m người ngồi đúng chỗ là hoán vị có đúng m điểm bất động của n phần tử và là $C_n^m.S_{n-m}$

@Fool's theorem: theo mình thì hiểu đề theo cách của bạn thì tính như bạn vẫn sai vì bị lặp

Đúng vậy ạ nếu $n-m$ người còn lại mà có người ngồi đúng vị trí thì chắc chắn sẽ lặp. Từ sau bỏ tật lanh chanh nhanh ẩu thôi

Cảm ơn anh nhé

lythuyen · 07-11-2013, 09:10 AM

Xác suất 1 người ngồi đúng chỗ là 1/n
để có đúng m người ngồi đúng chỗ thì áp dụng CT becnuli
$ P = C^m_n(\frac{1}{n})^m.(1- \frac{1}{n})^{n-m} $

coban · 07-11-2013, 05:56 PM

Trích:

Nguyên văn bởi lythuyen

Xác suất 1 người ngồi đúng chỗ là 1/n
để có đúng m người ngồi đúng chỗ thì áp dụng CT becnuli
$ P = C^m_n(\frac{1}{n})^m.(1- \frac{1}{n})^{n-m} $

Công thức Bernoulli chỉ đúng khi áp dụng cho trường hợp xác suất trong mỗi phép thử là như nhau thôi ở đây xác suất để người thứ nhất ngồi đúng chỗ là $\dfrac{1}{n}$, xác suất để người thứ hai ngồi đúng chỗ là $\frac{1}{n-1}\ldots$ Nếu $m<<n$ thì có thể dùng công thức Bernoulli được.

lythuyen · 08-11-2013, 11:11 AM

ừ, mình nhầm, cảm ơn bạn
chọn m người đúng trong n người thì có $C^m_n $
còn lại n - m người
bây giờ ta sẽ xét bài toán n - m người ngồi vào n - m chỗ không ai đúng chỗ theo cách truy hồi
B1 : giả sủ có 3 người A, B, C thì A có 2 cách chọn, B, C chỉ có 1 vậy có 2.1.1 cách
Giả sử có 4 người thì có 9 cách ( BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA. )
B2 : giả sử có k người
- Người đầu chọn k - 1 chỗ bất kỳ ( giả sử là chỗ thứ i, khi đó không mất tổng quát đánh số lại người thứ i là người thứ 2, hay tức là ta xét người thứ i ngay sau đó ), thì người thứ 2 có 2 TH :
+ Người thứ 2 chọn đúng chỗ người đầu, thì người thứ 3 còn k - 2 chỗ và bỏ chỗ của anh ta đi, anh ta lặp lại tương tự người thứ nhất, tức là có k - 3 chỗ, và người bị người thứ 3 chọn chỗ gọi là người thứ 4 lặp lại như người 2
+ Người thứ 2 chọn chỗ của người thứ 3 ( nếu chọn chỗ người thứ t ta xét luôn người thứ t là người thứ 3 ) thì người 2 có k - 2 cách chọn, và người thứ 3 lại lặp lại tương tự như người thứ 2 ( tức là 2 TH chọn phải chỗ của người 1hoặc chọn phải chỗ khác chỗ người 1 )
ta có CT :
$(k-1)[ 1.(k-3)['1.(k-5)...1.1 + (k-4)["1(...).1.1 + (k-5)[...]... ]" + 2.1.1]' + (k-2)['1.(k-4)...2.1.1 + (k-3).[...]...+2.1.1]' ] = $

thử lại
k = 4 ta có 3.(1.1 + 2.1.1) = 9
k = 5 có : 4[ 1(2.1.1) + 3.( 1.1+2.1.1) ] = 44
k = 6 có : 5{ 1.[ 3(1.1+2.1.1) ] + 4[ 1(2.1.1) + 3.(1.1+2.1.1)] } = 5.(9 + 44 )
hay ta được dãy
$u_k = (k-1)(u_{k-2} + u_{k-3}) $
với
$u_1 = 0 , u_2 = 1 $
Vậy
$p = \frac{C^{n-m}_{n}.u_{n-m}}{n!} $

15-08-2013, 02:20 PM	#1
truongvoki_bn +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2009 Đến từ: _chuyenbacninh_ Bài gởi: 614 Thanks: 72 Thanked 539 Times in 208 Posts	Bài toán xác suất Bài toán: Trong rạp xem phim có n chỗ ngồi được đánh số, n người có vé vào ngồi một cách ngẫu nhiên. Tìm xác xuất để có m người ngồi đúng chỗ. __________________ Cuộc sống là không chờ đợi Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa

15-08-2013, 10:11 PM	#2
Fool's theorem +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2012 Đến từ: T1 K46 Chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 187 Thanks: 42 Thanked 192 Times in 101 Posts	Xác suất để có $m $ người ngồi đúng chỗ là: $\frac{C^{m}_{n}.(n-m)!}{n!} = \frac{1}{m!} $ Đây hoàn toàn là dựa vào hiểu biết ít ỏi về xác suất ở cấp 3 nên không chắc có đúng không ạ __________________ Hope against hope.

16-08-2013, 12:10 PM	#5
truongvoki_bn +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Oct 2009 Đến từ: _chuyenbacninh_ Bài gởi: 614 Thanks: 72 Thanked 539 Times in 208 Posts	Xác xuất cần tính sẽ bằng tích của hai xác suất sau: +) "Có m người người đúng chỗ" ( $=\frac{C^{m}_{n}}{A^{m}_{n}}$ như công thức trên của bạn) +) " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ" Nhưng mình vẫn chưa thể tính được xác suất " $n-m$ người còn lại ngồi sai chỗ" __________________ Cuộc sống là không chờ đợi Đại học thôi. Lăn tăn gì nữa thay đổi nội dung bởi: truongvoki_bn, 16-08-2013 lúc 12:13 PM

08-11-2013, 11:11 AM	#11
lythuyen +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 83 Thanks: 36 Thanked 19 Times in 16 Posts	ừ, mình nhầm, cảm ơn bạn chọn m người đúng trong n người thì có $C^m_n $ còn lại n - m người bây giờ ta sẽ xét bài toán n - m người ngồi vào n - m chỗ không ai đúng chỗ theo cách truy hồi B1 : giả sủ có 3 người A, B, C thì A có 2 cách chọn, B, C chỉ có 1 vậy có 2.1.1 cách Giả sử có 4 người thì có 9 cách ( BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB, DCBA. ) B2 : giả sử có k người - Người đầu chọn k - 1 chỗ bất kỳ ( giả sử là chỗ thứ i, khi đó không mất tổng quát đánh số lại người thứ i là người thứ 2, hay tức là ta xét người thứ i ngay sau đó ), thì người thứ 2 có 2 TH : + Người thứ 2 chọn đúng chỗ người đầu, thì người thứ 3 còn k - 2 chỗ và bỏ chỗ của anh ta đi, anh ta lặp lại tương tự người thứ nhất, tức là có k - 3 chỗ, và người bị người thứ 3 chọn chỗ gọi là người thứ 4 lặp lại như người 2 + Người thứ 2 chọn chỗ của người thứ 3 ( nếu chọn chỗ người thứ t ta xét luôn người thứ t là người thứ 3 ) thì người 2 có k - 2 cách chọn, và người thứ 3 lại lặp lại tương tự như người thứ 2 ( tức là 2 TH chọn phải chỗ của người 1hoặc chọn phải chỗ khác chỗ người 1 ) ta có CT : $(k-1)[ 1.(k-3)['1.(k-5)...1.1 + (k-4)["1(...).1.1 + (k-5)[...]... ]" + 2.1.1]' + (k-2)['1.(k-4)...2.1.1 + (k-3).[...]...+2.1.1]' ] = $ thử lại k = 4 ta có 3.(1.1 + 2.1.1) = 9 k = 5 có : 4[ 1(2.1.1) + 3.( 1.1+2.1.1) ] = 44 k = 6 có : 5{ 1.[ 3(1.1+2.1.1) ] + 4[ 1(2.1.1) + 3.(1.1+2.1.1)] } = 5.(9 + 44 ) hay ta được dãy $u_k = (k-1)(u_{k-2} + u_{k-3}) $ với $u_1 = 0 , u_2 = 1 $ Vậy $p = \frac{C^{n-m}_{n}.u_{n-m}}{n!} $ thay đổi nội dung bởi: lythuyen, 08-11-2013 lúc 02:50 PM

07-11-2013, 09:10 AM	#9
lythuyen +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2011 Bài gởi: 83 Thanks: 36 Thanked 19 Times in 16 Posts	Xác suất 1 người ngồi đúng chỗ là 1/n để có đúng m người ngồi đúng chỗ thì áp dụng CT becnuli $ P = C^m_n(\frac{1}{n})^m.(1- \frac{1}{n})^{n-m} $