Một số tính chất biến ngẫu nhiên

[luatdhv]

Bài 1: Giả sử $X $ là biến ngẫu nhiên không âm, $\alpha>0 $ và $EX^{\alpha} < +\infty $. Chứng minh:

$EX^{\alpha}=\alpha \int_0^{+ \infty}x^{\alpha-1}P(X>x)dx. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi luatdhv

Bài 1: Giả sử $X $ là biến ngẫu nhiên không âm, $\alpha>0 $ và $EX^{\alpha} < +\infty $. Chứng minh:

$EX^{\alpha}=\alpha \int_0^{+ \infty}x^{\alpha-1}P(X>x)dx. $

Cái này dùng Fubini là ra mà,
$VP=\alpha\int_0^{\infty}x^{\alpha-1}E(1_{\{X>x\}})dx=E(\alpha\int_0^{\infty} x^{\alpha-1}1_\{{X>x\}}dx)=E(\alpha\int_0^X x^{\alpha-1}dx)=EX^{\alpha} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luatdhv]

Cám ơn anh! Tiếp theo là cái Kronecker
Bài 2: Giả sử $0<b_n $ tăng đến vô cùng và chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{b_n} $ hội tụ. Chứng minh:

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}x_k=0. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Nguyên văn bởi luatdhv

Cám ơn anh! Tiếp theo là cái Kronecker
Bài 2: Giả sử $0<b_n $ tăng đến vô cùng và chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x_n}{b_n} $ hội tụ. Chứng minh:

$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}x_k=0. $

Đặt $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{b_k} $, thì dãy $S_n $ hội tụ. Ta có
$\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n}x_k=\frac{1}{b_n}\sum_{ k=2}^nb_k(S_k-S_{k-1})+\frac{b_1S_1}{b_n}=-\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k+1}-b_k}{b_n}S_k+S_n $
Áp dụng tiêu chuẩn Stoltz ta có
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_n}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k+1}-b_k}{b_n}S_k=\lim_{n\to\infty}S_n $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luatdhv]

Bài 3: Cho hàm $f(x) $ liên tục, dương, giảm trên $[a;+\infty), a \in N. $ Đặt $F(y)=\int_a^yf(x)dx, $ và xét chuỗi $\sum_{k=0}^{\infty}f(a+k) $. Chứng minh:

$S_{n+1}-f(a) \le F(a+n) \le S_n. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Chào bạn Luatdhv

Bạn chú ý tiêu đề topic là biến ngẫu nhiên thuộc xác suất thống kê, sao những bài sau lại thuộc giải tích vậy.
Bạn chú ý post bài đúng mục nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luatdhv]

Nguyên văn bởi batigoal

Chào bạn Luatdhv

Bạn chú ý tiêu đề topic là biến ngẫu nhiên thuộc xác suất thống kê, sao những bài sau lại thuộc giải tích vậy.
Bạn chú ý post bài đúng mục nhé

OK mấy cái tính chất cơ bản của giải tích dùng cho xác suất, ngần ấy là hết rồi đó.
Bài 4: Giả sử $\{X_n, n \ge 1\} $ là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, với mỗi $n \ge 1 $ giả sử $f_n:R \to R $. Nếu dãy $\{f_n, n \ge 1\} $ chỉ gồm các hàm không giảm hoặc chỉ gồm các hàm không tăng thì $\{f(X_n), n \ge 1\} $ là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
Bài 5: Giả sử $\{X_n, n \ge 1\} $ là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một, kỳ vọng 0. Chứng minh:

$E\(\max_{1 \ge k \ge n}|\sum_{i=1}^{k}X_i|^2\) \le C(log_24n)^2 \sum_{i=1}^{n}EX_i^2. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[123456]

Khái niệm phụ thuộc âm là thế nào vậy, đây là lần đầu tiên mình nghe thấy đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luatdhv]

Nguyên văn bởi 123456

Khái niệm phụ thuộc âm là thế nào vậy, đây là lần đầu tiên mình nghe thấy đấy

Hai biến ngẫu nhiên $X $ và $Y $ được gọi là phụ thuộc âm
nếu mọi $x,y $ thuộc $R $ ta có $P(X \le x,Y \le y) \le P(X \le x)P(Y \le y). $

Nếu 2 trong bất kỳ các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm thì ta gọi đó là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]