Philippine Mathematical Olympiad 2013

[Gin Mellkior]

Philippine Mathematical Olympiad 2013

Bài 1: Xác định ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ để $$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}$$

Bài 2: Gọi $P$ là một điểm bất kỳ thuộc miền trong của tam giác $ABC$. Gọi $D$, $E$, $F$ lần lượt là giao điểm của $AP$ với $BC$, $BP$ với $AC$, $CP$ với $AB$. Giả sử rằng các tam giác $APF$, $BPD$, $CPE$ có cùng diện tích. Chứng minh rằng $P$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Bài 3: Cho $n$ là số nguyên dương. Các số từ $1$, $2$,…, $2n$ được sắp xếp bất kỳ trên một đường tròn. Mỗi dây cung được nối hai điểm trong các điểm kia và được gán bằng độ chênh lệch dương của hai điểm đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được $n$ dây cung đôi một không cẳt nhau sao cho tổng các số được gán trên các dây cung bằng $n^{2}$.

Bài 4: Cho $p\leq q$ là hai số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu một trong hai số $a^{p}$ hoặc $a^{q}$ chia hết cho $p$ thì số còn lại cũng chia hết cho $p$.

Bài 5: Cho $r,s$ là các số thực dương sao cho $\left ( r+s-rs \right )\left ( r+s+rs \right )=rs$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $r+s-rs$ và $r+s+rs$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[kien10a1]

Bài 2 là APMO 2012 thì phải.
Bài 3: Tô n điểm có số $n+1,n+2,...,2n $ màu xanh, $n $ điểm còn lại tô đỏ
Xét cách nối n đoạn thẳng rời nhau có đầu mút xanh- đỏ sao cho tổng độ dài các đoạn là nhỏ nhất.
Cm được cách tô này thỏa mãn bằng việc sử dụng bổ đề: tổng 2 đường chéo trong tứ giác luôn lớn hơn nửa chu vi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Philippine Mathematical Olympiad 2013

Bài 1: Xác định ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại $n$ số nguyên dương phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$,…, $x_{n}$ để $$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right)=\frac{15}{2013}$$

Ta có:
$\left(1-\frac{1}{x_1}\right)\left(1-\frac{1}{x_2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{x_n}\right) \ge \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)...\left(1-\frac{1}{n+1}\right)$
$\Rightarrow \dfrac{15}{2013} \ge \frac{1}{2}\frac{2}{3}...\frac{n}{n+1} = \frac{1}{n+1}$
$\Rightarrow \dfrac{15}{2013} \ge \dfrac{1}{n+1} \Rightarrow n \ge 134$
Ta tìm được 134 số nguyên dương phân biệt thỏa mãn điều kiện như sau:
$\frac{15}{2013} = \frac{5}{671} =\frac{1}{2}\frac{2}{3}...\frac{10}{11}\frac{12}{1 3}\frac{13}{14}...\frac{60}{61}\frac{62}{63}\frac{ 63}{64}...\frac{134}{135}$ @#$%#@$#@%
Chỗ này lằng nhằng quá chưa tìm đc
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lequoctung]

Có bản pdf không anh, cho em xin với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Gin Mellkior]

Nguyên văn bởi lequoctung

Có bản pdf không anh, cho em xin với

Mới làm xong đây này bạn
----
[Only registered and activated users can see links. ].
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]