Đề thi tuyển sinh đại học khối A, A1 năm 2013

[Gin Mellkior]

I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho hàm số $y= -x^3+3x^2+3mx-1,\,\,\, (1)$ với $m$ là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = 0$
2) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ nghịch biến trong $(0;+\infty )$

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $1+ \tan x = 2\sqrt 2 \sin \left ( x + \frac{\pi}{4} \right )$.


Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt[4]{x -1} -\sqrt{y^4+2}=y\\ x^2 +2x(y-1)+y^2-6y+1=0\end{matrix}\right. \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $\displaystyle \int_{1}^{2}\frac{x^2-1}{x^2}\ln xdx$


Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30^o$, $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và mặt bên $SBC$ vuông góc với đáy. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ và khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+c)(b+c)=4c^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P=\frac{32a^3}{(b+3c)^3}+\frac{32b^3}{(a+3c)^3}-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$$

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B).

A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:2x+y+5=0$ và $A(-4;8)$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$, biết rằng $N(5;-4)$.


Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta:\frac{x-6}{-3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+5}{1}$ và điểm $A(1;7;3)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $\Delta$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho $AM = 2\sqrt{30}$.

Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7$. Xác định số phần tử của $S$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.


B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :x-y=0$. Đường tròn $\left ( C \right )$ có bán kính $R=\sqrt{10}$ cắt $\Delta$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AB=4\sqrt 2$. Tiếp tuyến của $\left ( C \right )$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại một điểm thuộc tia $Oy$. Viết phương trình đường tròn $\left ( C \right )$.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x+3y+z-11=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-2z-8=0$. Chứng minh $(P)$ tiếp xúc $(S)$. Tìm tọa độ tiếp điểm của $(P)$ và $(S)$.

Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức $z=1+\sqrt3 i$ . Viết dạng lượng giác của số phức $z$. Tìm phần thực và phần ảo của số phức $w = (1+i)z^5$
.

---Hết---
Họ và tên thí sinh: .................................................. ..........................SBD:.................... ........................

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Bài 6:Chia giả thiết cho $c^{2} $ rồi đặt $\frac{a}{c}=x,\frac{b}{c}=y $ ta có $(x+1)(y+1)=4 $
$P\geq 8(\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3})^{3}+\sqrt{(x+y)^{2}-2xy} $
Từ đó đặt $x+y=t $ và $t\geq 2 $ ta có cái hàm sau
$P\geq 8(\frac{t^{2}+5t-6}{2t+12})^{3}-\sqrt{t^{2}+2t-6} $
Rồi xét hàm theo t chắc là đạo hàm dương
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[lythedan]

Câu 6:Điều kiện là a,b,c thực dương nhé
$(a+c)(b+c)=4c^{2}\Leftrightarrow (\frac{a}{c}+1)(\frac{b}{c}+1)=4 $
Đặt $\frac{a}{c}=x , \frac{b}{c}=y $, ta có (x+1)(y+1)=4.
Đặt $x+y=t\Rightarrow xy=3-t $
Ta có
$P=32(\frac{x^{3}}{(y+3)^{3}}+\frac{y^{3}}{(x+3)^{3 }})-\sqrt{x^{2}+y^{2}} $
$P\geq 8(\frac{x}{y+3}+\frac{y}{x+3})^{3}-\sqrt{x^{2}+y^{2}} $
Hay $P\geq (t-1)^{3}-\sqrt{t^{2}+2t-6} $
Mặt khác ta có
$x+1+y+1\geq 2\sqrt{(x+1)(y+1)}\Rightarrow x+y\geq 2 hay t\geq 2 $
Xét hàm
$f(t)=(t-1)^{3}-\sqrt{t^{2}+2t-6}/[2;\infty ) $
Hàm đồng biến nên ta có $f(t)\geq 1-\sqrt{2} $
Vậy $min(P)=1-\sqrt{2} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tranphongk33]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

[B]
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:2x+y+5=0$ và $A(-4;8)$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$, biết rằng $N(5;-4)$.

Ta có $C(t,-2t-5)$, gọi $I$ là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, suy ra $I(\frac{t}{2}-2,-t+\frac{3}{2})$.
Các tam giác $ABD,BCD,BDN$ cùng nội tiếp đường tròn tâm $I$.
Nên ta có $IA=IN\Rightarrow t=1\Rightarrow I(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})\Rightarrow C(1,-7)$.
Việc còn lại thì đơn giản rồi. ^^
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hakudoshi]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt[4]{x -1} -\sqrt{y^4+2}=y \ (1) \\ x^2 +2x(y-1)+y^2-6y+1=0 \ (2) \end{matrix}\right. \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Điều kiện $x \geq 1$.
Lưu ý để $(2)$ có nghiệm thì
$ \\ \Delta'=(y-1)^2-(y^2-6y+1) \geq 0 \\ \Leftrightarrow y \geq 0$


Đặt $z= \sqrt[4]{x-1} \ (z \geq 0)$ thì
$$(1) \Leftrightarrow \sqrt{z^4+2}+z=y+\sqrt{y^4+2} \\ \Leftrightarrow (z-y) \bigg( \dfrac{(z+y)(z^2+y^2)}{\sqrt{z^4+2}+\sqrt{y^4+2}}+ 1\bigg) =0$$
Suy ra ngay $y=z=\sqrt[4]{x-1}$

Thế $x=y^4+1$ vào $(2)$ thì ta có
$y^8+2y^5+2y^4-y^2-4y=0$
$ \Leftrightarrow y(y-1)(y^6+y^5+y^4+3y^3+5y^2+5y+4)=0$



Câu BĐT năm nay nhìn ngon gê, nhìn phát là biết chia $c^2$ từ điều kiện
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[vjpd3pz41iuai]

Nguyên văn bởi hakudoshi

Điều kiện $x \geq 1$.
Lưu ý để $(2)$ có nghiệm thì
$ \\ \Delta=(y-1)^2-4(y^2-6y+1) \geq 0 \\ \Leftrightarrow -3y^2+22y-3 \geq 0 \\ \Leftrightarrow 0 < \dfrac{11-4\sqrt{7}}{3} \leq y \leq \dfrac{11+4\sqrt{7}}{3}$


Đặt $z= \sqrt[4]{x-1} \ (z \geq 0)$ thì
$$(1) \Leftrightarrow \sqrt{z^4+2}+z=y+\sqrt{y^4+2} \\ \Leftrightarrow (z-y) \bigg( \dfrac{(z+y)(z^2+y^2)}{\sqrt{z^4+2}+\sqrt{y^4+2}}+ 1\bigg) =0$$
Suy ra ngay $y=z=\sqrt[4]{x-1}$

Câu BĐT năm nay nhìn ngon gê, nhìn phát là biết chia $c^2$ từ điều kiện

$$\\ \Delta =16y $ chứ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+1} + \sqrt[4]{x -1} -\sqrt{y^4+2}=y (1)\\ x^2 +2x(y-1)+y^2-6y+1=0 (2)\end{matrix}\right. \forall x, y \in \mathbb{R}$$

Điều kiện: $x \ge 1$
Từ (2):
$\delta'_{x} = (y-1)^2 - y^2 +6y -1 $

$=4y$

$\Rightarrow y \ge 0$

$\Rightarrow x= 1-y \pm 2\sqrt{y}$

Nếu $y=0 \Rightarrow x =1$ nếu $x=1 \Rightarrow y =0$
Xét $y \ne 0, x \ne 1$

Từ (1):
$\sqrt{x+1} - \sqrt{y^4+2} = y - \sqrt[4]{x-1}$

$\Rightarrow \dfrac{x-y^4-1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{y^4+2}} = \dfrac{y^4 - x +1}{ \left( \sqrt[4]{x-1} + y \right) \left( \sqrt{x-1}+ y^2 \right)}$

Vì $y \ge 0$ nên $x-y^4-1 = 0 \Rightarrow x-1 = y^4$

$\Rightarrow y^4 = -y \pm 2\sqrt{y}$

Đặt $t = \sqrt{y}$ ($t>0$)

TH1: $t^8 + t^2 + 2t =0 \Rightarrow t =0$

TH2: $t^8 +t^2 - 2t = 0$

$\Rightarrow t(t^7 + t -2) =0$

Xét hàm $f(t)=t^7 + t -2$

$f'(t) >0 $ ,$f(1)=0$ nên $f(t)$ có nghiệm duy nhất là 1.

Vậy $y=0 \Rightarrow x= 1$, $y = 1 \Rightarrow x = 2$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[levanquy]

[QUOTE=Gin Mellkior;191919]I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
[B]

Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7$. Xác định số phần tử của $S$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Số phần tử của S là |S|=$A_7^3 $
Số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là: $3.A_6^2 $
Xác suất cần tìm: $\frac{3.A_6^2}{A_7^3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[luathieng1989]

[QUOTE=levanquy;191930]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
[B]

Câu 9.a (1,0 điểm). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;2;3;4;5;6;7$. Xác định số phần tử của $S$. Chọn ngẫu nhiên một số từ $S$, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Số phần tử của S là |S|=$A_7^3 $
Số các số chẵn có 3 chữ số khác nhau là: $3.A_6^2 $
Xác suất cần tìm: $\frac{3.A_6^2}{A_7^3} $

Đáp số phải là:$3/7 $ levanquy làm mà xác suất lớn hơn 1 rồi.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangduyenkhtn]

Bài hệ liên hợp phương trình 1 tìm được x-y^4-1=0
Phương trình 2 viết lại thành (x+y-1)^2-4y=0. từ đây suy ra y lớn hơn hoặc bằng 0
Mình vội quá không đánh latex mong các bạ thông cảm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[tmp]

Nguyên văn bởi vjpd3pz41iuai

$$\\ \Delta =16y $ chứ

Từ (1),có thể xét hàm f(u) =f(v) với f hàm đơn điệu tăng,thì đơn giản hơn nhiều
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

[B]
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $\widehat{ABC} = 30^o$, $SBC$ là tam giác đều cạnh $a$ và mặt bên $SBC$ vuông góc với đáy. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABC$ và khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$.

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow SE \perp (ABC)$

$SE = \dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

$AB = \dfrac{\sqrt{3}a}{2}$, $AC = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{\sqrt{3}a^2}{8}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3} S_{ABC} \dot SE = \dfrac{a^3}{16}$

$AE = \dfrac{a}{2}$

Tam giác $AES$ vuông tại $E$ nên $SA = a$

$\Rightarrow SAB$ cân tại $S$
$\Rightarrow S_{SAB} = \dfrac{\sqrt{39}a^2}{16}$

$\Rightarrow d(C, (SAB)) = \dfrac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}} = \dfrac{a\sqrt{39}}{13}$

Tặng cái hình phát

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hansongkyung]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $C$ thuộc đường thẳng $d:2x+y+5=0$ và $A(-4;8)$. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $B$ qua $C$, $N$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên đường thẳng $MD$. Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$, biết rằng $N(5;-4)$.

Cách khác này.

Gọi $E$ là giao điểm của $BN$ và $AC$
$AC \parallel DM \Rightarrow AC \perp BN$

Vì $AN \perp NC$
$\Rightarrow \overrightarrow{AN}\overrightarrow{NC} = 0$

$\Rightarrow C = (1;-7)$

Đường thẳng $BN : x-3y+7 = 0$

Mà $\overrightarrow{AB}\overrightarrow{BC} = 0$

$\Rightarrow B = (-4; -7)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[JokerNVT]

Nguyên văn bởi Gin Mellkior

I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho hàm số $y= -x^3+3x^2+3mx-1,\,\,\, (1)$ với $m$ là tham số thực
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = 0$
2) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ nghịch biến trong $(0;+\infty )$

Điều kiện đề bài tương đương:
$f'(x)=-3x^2+6x+3m\le 0 \Rightarrow m\le x^2-2x$
Khảo sát hàm $g(x)=x^2-2x \forall x \in (0;+\infty )$ ta thấy hàm đạt cực tiểu tại $x=1 \Rightarrow g(1)=-1$
Vậy $m\le -1$ thỏa mãn bài toán
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Không Biết]

Câu 6.
Đặt $x=\dfrac{a+c}{c}$ và $y=\dfrac{b+c}{c}$ $\rightarrow$ $xy=4.$ Suy ra
$P=\dfrac{32(x-1)^3}{(y+2)^3}+\dfrac{32(y-1)^3}{(x+2)^3}-\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}.$
Đặt $t=x+y.$ Theo bđt Cô si ta có
$\dfrac{32(x-1)^3}{(y+2)^3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\geq\dfrac {6(x-1)}{y+2},$
$\dfrac{32(y-1)^3}{(x+2)^3}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\geq\dfrac {6(y-1)}{x+2}.$
Suy ra
$P\ge 6\left(\dfrac{x-1}{y+2}+\dfrac{y-1}{x+2}\right)-2-\sqrt{t^2-2t-6}.$
Có
$\dfrac{x-1}{y+2}+\dfrac{y-1}{x+2}=\dfrac{x^2+x+y^2+y-4}{(x+2)(y+2)}=\dfrac{t^2+t-12}{2(t+4)}=\dfrac{t-3}{2},$
nên là $P\ge3(t-3)-2-\sqrt{t^2-2t-6}=3t-\sqrt{t^2-2t-6}-11.$
Lại dùng Cô si ta có
$\sqrt{t^2-2t-6}\le\dfrac{2\sqrt{2}}{t}\cdot\dfrac{\frac{t^2}{8} +t^2-2t-6}{2}=\dfrac{9t}{4\sqrt{2}}-2\sqrt{2}-\dfrac{6\sqrt{2}}{t}.$
Suy ra $P\ge 3t-\dfrac{9t}{4\sqrt{2}}+\dfrac{6\sqrt{2}}{t}-11+2\sqrt{2}.$
Vì $xy=4$ nên $t\ge 4$ suy ra
$3t-\dfrac{9t}{4\sqrt{2}}+\dfrac{6\sqrt{2}}{t}=\left(3-\dfrac{9}{4\sqrt{2}}-\dfrac{3}{4\sqrt{2}}\right)t+\dfrac{3}{4\sqrt{2}}t +\dfrac{6\sqrt{2}}{t}$
$\ge\left(3-\dfrac{9}{4\sqrt{2}}-\dfrac{3}{4\sqrt{2}}\right)\cdot 4+2\sqrt{\dfrac{3}{4\sqrt{2}}t\cdot\dfrac{6\sqrt{2 }}{t}}=12-3\sqrt{2}.$
Suy ra $P\ge 1-\sqrt{2}.$ Dấu bằng có xảy ra khi $a=b=c$ nên là $\min P=1-\sqrt{2}.$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]