Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Sơ Cấp > Việt Nam và IMO > 2013

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 12-01-2013, 02:12 PM   #16
Gin Mellkior
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gởi: 86
Thanks: 226
Thanked 60 Times in 27 Posts
Lời giải:
Cho $x\neq 0$, $y=0$ ta được:
$$x.f\left ( f^{2}\left ( x \right ) \right )=f^{3}\left ( x \right )\\
\Rightarrow f\left ( f^{2}\left ( x \right ) \right )=\frac{f^{3}\left ( x \right )}{x} \ \ \forall x\neq 0$$
Thay vào phương trình ban đầu ta được:
$$\left ( x-y \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}-\frac{f^{3}\left ( y \right )}{y} \right ]=\left ( f\left ( x \right )-f\left ( y \right ) \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )-f^{2}\left ( y \right ) \right ) \ \ \forall x,y\neq 0 \ \ \left ( * \right )$$
Cho $x<0$, $y=1$ vào $\left ( * \right )$ ta được:
$$\left ( x-1 \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}-2013^{3} \right ]=\left ( f\left ( x \right )-2013 \right )\left ( f^{2}x-2013^{2} \right )\\
\Leftrightarrow \left ( f\left ( x \right )-2013x \right )\left ( f^{2}x-2013^{2}x \right )=0$$
Mặt khác với $x<0$ thì $f^{2}\left ( x \right )=2013^{2}x$ nên $f\left ( x \right )=2013x \ \ \forall x<0$ do đó $f\left ( -1 \right )=-2013$.
Cho $x>0$, $y=-1$ vào $\left ( * \right )$ ta được:
$$\left ( x+1 \right )\left [ \frac{f^{3}\left ( x \right )}{x}+2013^{3} \right ]=\left ( f\left ( x \right )+2013 \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )-2013^{2} \right )\\
\Leftrightarrow \left ( f\left ( x \right )-2013x \right )\left ( f^{2}\left ( x \right )+2013^{2}x \right )=0\\
\Leftrightarrow f\left ( x \right )=2013x$$
Thử lại thấy đúng. Vậy $f\left ( x \right )=2013x$. $\blacksquare$
====================

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
LSTN, tạm biệt nhé...!
Gin Mellkior is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 02:31 PM   #17
thaygiaocht
+Thành Viên+
 
thaygiaocht's Avatar
 
Tham gia ngày: Aug 2012
Đến từ: Chuyên Hà Tĩnh
Bài gởi: 165
Thanks: 793
Thanked 216 Times in 93 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi n.v.thanh View Post
Bài này cho $y=0 $ thu được
$f(f^2(x))=\frac{f^3(x)}{x} $ với mọi $x \ne 0 $.
Thế vào phương trình thu gọn được
$[xf(y)-yf(x)][xf^2(y)-yf^2(x)]=0 $ với mọi $x, y \ne 0 $.
Cho $y=1 $ được
$(f(x)-2013x)(f^2(x)-2013^2x)=0 $ với mọi $x \ne 0. $
Suy ra $f(x)=2013x, x \le 0 $
Cho $y=-1 $ được $f(x)=2013x, x \ge 0 $
Mặt khác dễ thấy nếu $f(x)=f(y) $ thì $x=y. $
Vậy $f(x)=2013x, x \in R $. Thử lại thấy thỏa mãn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: thaygiaocht, 12-01-2013 lúc 02:43 PM
thaygiaocht is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to thaygiaocht For This Useful Post:
bb.boy_lion (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 02:34 PM   #18
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi nguoi_vn1 View Post
Đây là cách làm của mình, không biết đúng hay sai nữa
Thay $y=0$ được $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x) \forall x\epsilon \mathbb{R}$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-y.f(f^{2}(x))-xf(f^{2}(y))$
$VT=f^{3}(x)+f^{3}(y)-f(y)f^{2}(x)-f(x)f^{2}(y)$
$\Rightarrow y.f(f^{2}(x))+xf(f^{2}(y))=f(y)f^{2}(x)+f(x)f^{2}( y)$(1)
Từ $xf(f^{2}(x))=f^{3}(x)$ suy ra $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} \forall x\neq 0$, thay lại vào (1) ta được:
$\frac{y}{x}.f^{3}(x)+\frac{x}{y}.f^{3}(y)=f(y)f^{ 2}(x)+f(x)f^{2}(y) \forall x,y \neq0$
$\Leftrightarrow f^{2}(x).[\frac{y}{x}.f(x)-f(y)]+f^{2}(y).[\frac{x}{y}.f(y)-f(x)]=0$
$\Leftrightarrow [y.f(x)-xf(y)].[\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}]=0 \forall x,y \neq0$
*Xét trường hợp $y.f(x)-xf(y)=0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}=a=const \forall x,y \neq0$
suy ra $f(x)=ax$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ $ \Rightarrow f(x)=2013x \forall x,y \epsilon \mathbb{R}$, thử lại thấy thỏa mãn
*Xét trường hợp $\frac{f^{2}(x)}{x}-\frac{f^{2}(y)}{y}=0$ $\Rightarrow \frac{f^{2}(x)}{x}=\frac{f^{2}(y)}{y}=b \forall x,y \neq0$, suy ra $f^{2}(x)=bx$, thay $x=1$ suy ra $a=2013$ hoặc $a=-2013$
suy ra $f(x)=2013\sqrt{x}$ hoặc $f(x)=-2013\sqrt{x}\forall x>0$, thử lại thấy không thỏa mãn
Vậy $f(x)=2013x$ $\forall x\epsilon \mathbb{R}$ là nghiệm hàm duy nhất
Từ cái tích kia không suy ra được 2 trường hợp đó bằng 0 như phương trình tích là ra đâu bạn. Còn phải chứng minh không có hàm số nào thỏa mãn đề nữa.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 02:39 PM   #19
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Mình thì ra được cái phương trình bậc 3 theo $f(x)$
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 03:05 PM   #20
hakudoshi
+Thành Viên+
 
hakudoshi's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2012
Đến từ: vật chất->sự sống->tư duy->cảm xúc->???
Bài gởi: 210
Thanks: 102
Thanked 179 Times in 90 Posts
Những bài thử lại thỏa mãn mà không thế vào thử thì sẽ bị trừ điểm nhé
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Touch me touch me, don't be shy
I'm in charge like a G.U.Y.
I'll lay down face up this time
Under you like a G.U.Y.
hakudoshi is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 03:08 PM   #21
AnhIsGod
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2011
Đến từ: Vô cực
Bài gởi: 267
Thanks: 358
Thanked 48 Times in 32 Posts
Chưa thử lại được thì trừ mấy điểm hả bạn?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
AnhIsGod is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 04:00 PM   #22
nguoi_vn1
+Thành Viên+
 
nguoi_vn1's Avatar
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 127
Thanks: 87
Thanked 35 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Từ cái tích kia không suy ra được 2 trường hợp đó bằng 0 như phương trình tích là ra đâu bạn. Còn phải chứng minh không có hàm số nào thỏa mãn đề nữa.
làm lại dùm mình đoạn đó đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Lê Minh Phúc-12A1 THPT Đạ Hoai
VMO 2014- Đợi mình nhé
nguoi_vn1 is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 04:06 PM   #23
innocent
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Nov 2010
Bài gởi: 126
Thanks: 98
Thanked 31 Times in 22 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi hakudoshi View Post
Từ cái tích kia không suy ra được 2 trường hợp đó bằng 0 như phương trình tích là ra đâu bạn. Còn phải chứng minh không có hàm số nào thỏa mãn đề nữa.
Tưởng cái tích mà có $f^2(x) $ ấy nó không thỏa mãn đề bài nên loại luôn chứ? Trường hợp có 2 nghiệm hàm mới phải chứng minh không có hàm khác chứ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
innocent is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 05:47 PM   #24
lovenvt
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gởi: 3
Thanks: 0
Thanked 0 Times in 0 Posts
Có cm đc f(x) là toàn ánh ko ạh?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
lovenvt is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 06:28 PM   #25
High high
+Thành Viên+
 
High high's Avatar
 
Tham gia ngày: May 2012
Đến từ: CLA
Bài gởi: 538
Thanks: 183
Thanked 136 Times in 63 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi lovenvt View Post
Có cm đc f(x) là toàn ánh ko ạh?
Hình như đâu cần đâu bạn
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sẽ không quên nỗi đau này..!
High high is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 12-01-2013, 08:41 PM   #26
DaiToan
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2010
Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Bài gởi: 280
Thanks: 29
Thanked 361 Times in 123 Posts
Cái hay và hơi vướng của bài toán này với nhiều bạn học sinh chính là khi đã có $$\left[ \begin{array}{l}
f(x) = 2013x{\rm{ }}(1)\\
{f^2}(x) = {2013^2}x{\rm{ }}(2)
\end{array} \right.$ $ với mọi x khác 0 thì xử lí tiếp thế nào.
Có thể xử lí theo hướng như sau: Từ trên suy ra $$f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x < 0$ $ (3)
Ta có ngay f(-1)=-2013. Cho y=-1 ta lại được nhân tử:
$$\left[ {f(x) - 2013x} \right]\left[ {{f^2}(x) + {{2013}^2}x} \right] = 0 \Rightarrow f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x > 0{\rm{ }}(4)$ $.
Từ (3), (4) và f(0)=0 suy ra $$f(x) = 2013x{\rm{ }}\forall x \in R $ $
Vậy chỉ có một hàm cần tìm là $$f(x) = 2013x$ $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: DaiToan, 12-01-2013 lúc 08:45 PM
DaiToan is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to DaiToan For This Useful Post:
bb.boy_lion (12-01-2013), bboy114crew (12-01-2013), nliem1995 (12-01-2013), thaygiaocht (12-01-2013)
Old 12-01-2013, 10:30 PM   #27
chemmath
+Thành Viên+
 
chemmath's Avatar
 
Tham gia ngày: Apr 2010
Bài gởi: 27
Thanks: 87
Thanked 68 Times in 14 Posts
Bài PTH đại số này hay đấy. Chắc mấy thằng đội tuyển 10 của mình làm được
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
chemmath is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-01-2013, 12:04 AM   #28
vjpd3pz41iuai
+Thành Viên+
 
vjpd3pz41iuai's Avatar
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gởi: 303
Thanks: 129
Thanked 130 Times in 81 Posts
Cách mình khá là trâu nhưng hướng giải cũng như mấy bạn trên
Thay $y=0 $ thì được $f(f^{2}(x))=\frac{f^{3}(x)}{x} $
Thế vào cái đầu và thay $y=1 $ thì được
$\frac{1}{x}f^{3}(x)-2013f^{2}(x)-2013^{2}f(x)+x.2013^{3}
=0 $
Do may mắn dự đoán đúng $f(x)=2013x $ nên phân tích nhân tử về
$(f(x)-2013x)(\frac{1}{x}f^{2}(x)-2013^{2})=0 $
Xong chứng minh không tồn tại cái kia bằng phép thế,...
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
vjpd3pz41iuai is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Old 13-01-2013, 11:05 AM   #29
HuongNhat
+Thành Viên+
 
HuongNhat's Avatar
 
Tham gia ngày: Jul 2010
Bài gởi: 77
Thanks: 49
Thanked 20 Times in 16 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới HuongNhat
Trích:
Nguyên văn bởi Toan95cqb View Post
Với trường hợp 2:
$f^2(x)=2013^2x $
$f^2(-x)=-2013^2x $
nên $f^2(x)+f^2(-x)=0 => f^2(x)=f^2(-x)=0 $
Vô lí với điều kiện $f(1)=2013 $
Mình làm chỗ này như vậy đó.
Nếu xét TH thì hình như còn TH mà f(x)=2013x tại vài x và f(x)=-2013x tại vài số còn lại
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Làm người có thể xa xỉ nhưng không nên lãng phí !
HuongNhat is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 03:45 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 93.58 k/108.24 k (13.54%)]