Một số bài tập về nhóm

[zinxinh]

Nguyên văn bởi 99

n=1,2,3 thì OK rồi, vì có định lý là : nhóm cấp $p^n $ luôn có nhóm con chuẩn tắc cấp $p^r $ với $r\leq n $. Mà các nhóm cấp $p $ và $p^2 $ đều là nhóm abel.

Câu chuyện là n=4 thì chứng minh thế nào? Em đọc bài của anh em vẫn chưa hiểu.

Với G là p nhóm thì nó có tâm nhóm không tầm thường Z(G)
Nếu $|Z(G)|=p^{3} $ thì đúng
Nếu $|Z(G)|=p^{2}->G/Z(G) $ là nhóm cấp $p^{2} $ là nhóm abel sẽ có phần từ đại diên b cấp p
Đặt H là nhóm sinh bởi các phần tử Z(G) và b là nhóm cấp $p^{3} $.Thương nhóm $H/Z(G) $ là nhóm cylic.Nên H abel đó là điều ta cần
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Vậy nếu Z(G) có cấp p thì ta sẽ làm thế nào ạ?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[ndtkhtn]

Nguyên văn bởi 99

Để chứng minh kểt quả này, ta sử dụng kết quả sau :

Giả sử $H $ là nhóm con của $G $ có chỉ số $2 $. Khi đó với mọi $x\in G $ ta có $x^2\in H $ và $H\triangleleft G $.

vì H có chỉ số 2 nên xH=Hx suy ra $H\triangleleft G $
nhưng còn $x^2\inH, \forall x\in G $ thì chứng minh thế nào nhỉ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Tìm ví dụ về nhóm thỏa điều kiện $(xy)^n=x^n y^n $ nhưng không là nhóm aben
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Ai tìm dùm mình ví dụ về nhóm vô hạn không cyclic với
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[99]

Nguyên văn bởi anhkhoavo1210

Ai tìm dùm mình ví dụ về nhóm vô hạn không cyclic với

Thế này thì dễ quá Nếu nhóm nào cũng là cyclic thì coi như lý thuyết nhóm đem vứt sọt rác

Bạn thử với nhóm abel $\mathbb{Q} $ xem sao?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Anh Khoa]

Ý mình là có nhất thiết xác định rõ nhóm này có công thức như thế nào không???
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]