Hệ phương trình đẳng cấp

minhzduc · 26-11-2010, 10:16 AM

Các bạn có thể giảng cho mình hiểu khi nào đặt y=tx hay khi nào đặt x=ty trong hệ đẳng cấp không? Mình đã thử đặt hai cách như trên cho một số bài ví dụ và nó đã ho các kết quả khác nhau. Mong các bạn giúp đỡ.

**novae** · 26-11-2010, 11:10 AM

Đặt $y=tx $ hay $x=ty $ đều được cả, bạn thử đưa ví dụ của bạn lên đây xem nào

minhzduc · 26-11-2010, 11:21 AM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Đặt $y=tx $ hay $x=ty $ đều được cả, bạn thử đưa ví dụ của bạn lên đây xem nào

hệ: $\begin{cases}x^3 - xy^2 + y^3 &= 1 \\ 2x^3 - x^2y + y^3 &= 2 \end{cases} $

$\begin{cases} 3x^2 + 5xy - 4y^2 &= 38 \\ 5x^2 - 9xy - 3y^2 &= 15 \end{cases} $

**novae** · 26-11-2010, 11:35 AM

Bạn học gõ LaTeX cẩn thận đi, rồi post cả cách làm của bạn lên để xem sai ở đâu

minhzduc · 26-11-2010, 12:28 PM

Mình giải bài 1 thôi:

Hệ $\Leftrightarrow $ $\begin{cases}2x^3-2xy^2+2y^3=2\\2x^3-x^2y+y^3=2\end{cases} $
Trừ vế theo vế:
Có: $\ -2xy^2+x^2y+y^3=0 $.(1)
1/ Đặt y=tx

(1) $\Leftrightarrow $ $\ x^3t(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ x=0 $\vee $ t=0 $\vee $ t=1.
Tới chỗ này thấy t=0 nên hơi vô lí nên mình không tiếp tục giải nữa.

2/Đặt x=ty
(1) $\Leftrightarrow $ $\ y^3(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ y=0 $\Rightarrow $ x=1 $\vee $ t=1$\Rightarrow $ x=y.

Với x=y
$\2x^3-x^2y+y^3=2 $ $\Leftrightarrow $ $\2y^3-y^3+y^3=0 $ $\Leftrightarrow $ y=1 $\Rightarrow $ x=1.
Vậy nghiệm của hệ là: (1;0), (1;1)

**novae** · 26-11-2010, 12:42 PM

Trích:

Nguyên văn bởi minhzduc

Mình giải bài 1 thôi:

Hệ $\Leftrightarrow $ $\begin{cases}2x^3-2xy^2+2y^3=2\\2x^3-x^2y+y^3=2\end{cases} $
Trừ vế theo vế:
Có: $\ -2xy^2+x^2y+y^3=0 $.(1)
1/ Đặt $y=tx $

$(1)\Leftrightarrow\ x^3t(t^2-2t+1)=0\Leftrightarrow x=0\vee t=0 \vee t=1. $
Tới chỗ này thấy $t=0 $ nên hơi vô lí nên mình không tiếp tục giải nữa.

2/Đặt $x=ty $
$ (1) \Leftrightarrow y^3(t^2-2t+1)=0\Leftrightarrow y=0 \Rightarrow x=1 \vee t=1 \Rightarrow x=y. $
Với $x=y $
$\2x^3-x^2y+y^3=2 \Leftrightarrow \2y^3-y^3+y^3=0 \Leftrightarrow y=1 \Rightarrow x=1 $
Vậy nghiệm của hệ là: (1;0), (1;1)

Trường hợp 2 giải đúng rồi
Trường hợp 1 có $t=0 $ suy ra $y=0 $, vô lí ở chỗ nào

p/s: cho tất cả công thức vào một cặp thẻ TEX duy nhất, có một công thức mà chia ra làm mấy thẻ TEX

Persian · 26-11-2010, 12:43 PM

Trích:

Nguyên văn bởi minhzduc

Mình giải bài 1 thôi:

Hệ $\Leftrightarrow $ $\begin{cases}2x^3-2xy^2+2y^3=2\\2x^3-x^2y+y^3=2\end{cases} $
Trừ vế theo vế:
Có: $\ -2xy^2+x^2y+y^3=0 $.(1)
1/ Đặt y=tx

(1) $\Leftrightarrow $ $\ x^3t(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ x=0 $\vee $ t=0 $\vee $ t=1.
Tới chỗ này thấy t=0 nên hơi vô lí nên mình không tiếp tục giải nữa.

2/Đặt x=ty
(1) $\Leftrightarrow $ $\ y^3(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ y=0 $\Rightarrow $ x=1 $\vee $ t=1$\Rightarrow $ x=y.

Với x=y
$\2x^3-x^2y+y^3=2 $ $\Leftrightarrow $ $\2y^3-y^3+y^3=0 $ $\Leftrightarrow $ y=1 $\Rightarrow $ x=1.
Vậy nghiệm của hệ là: (1;0), (1;1)

t=0 thì $y=0 $ hệ có nghiệm $y=0 $ mà thế thôi
Còn x=0 (loại)do $y=kx $ bạn cần phải xét 2 TH x=0 thế luôn vào hệ x khác 0 thì mới dc đặt $y=kx $ (do x=0 thì ko tồn tại k)

khiemnguyen13 · 26-11-2010, 12:43 PM

Mình thấy cơ bản hệ này có nghiệm$\left ( x,y \right )= (0,0) $.Nên bạn đặt như vậy là sai lầm nếu không có điều kiện

**novae** · 26-11-2010, 12:45 PM

Trích:

Nguyên văn bởi khiemnguyen13

Mình thấy hệ này có nghiệm$\left ( x,y \right )= (0,0) $.Nên bạn đặt như vậy là sai lầm nếu không có điều kiện

Bạn kiểm tra lại nhé, $(x;y)= (0;0) $ mà là nghiệm của hệ à?
Khi đặt $y=tx $ hoặc $x=ty $ thì không cần điều kiện gì cả

Persian · 26-11-2010, 12:58 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

Bạn kiểm tra lại nhé, $(x;y)= (0;0) $ mà là nghiệm của hệ à?
Khi đặt $y=tx $ hoặc $x=ty $ thì không cần điều kiện gì cả

Có ĐK đấy anh
x=ky thì y khác 0
y=kx thì x khác 0

**huynhcongbang** · 26-11-2010, 05:36 PM

Trích:

Nguyên văn bởi novae

không cần, đặt $y=kx $ mà làm ra được $x=0 $ thì suy ra $y=0 $
đặt $k=\frac{y}{x} $ mới cần điều kiện

Thực ra trong nhiều tài liệu Toán, việc đặt $y=kx $ như thế này đều được xét điều kiện $x\neq 0 $ trước bởi vì ở đây mong muốn biểu diễn được số thực y theo số thực x, nếu x bằng 0 thì k có là bao nhiêu thì cũng không thể biểu diễn giá trị y được.
Tuy việc đặt như trên (đặt mà không xét điều kiện) không dẫn đến thiếu hoặc dư nghiệm gì nhưng về lập luận là chưa đầy đủ.

DoBaChuGVToan · 26-11-2010, 09:33 PM

Khi phương trình hoặc hệ phương trình mà đẳng cấp với 2 biến , nếu đặt $y=tx $ thì phải xét $x=0 $ trước , chỉ khi $x \not=0 $ mới đặt được $y=tx $
VD sau là một minh chứng :
Xét phương trình $x^4+x^2y^2=0 \ \ (1) $
Nếu đặt $y=tx $ ta thu được $x^4(t^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0 $
Thay $x=0 $ vào $y=tx $ cho $y=0 $ . Vậy kết luận là $(1) $ có nghiệm duy nhất $(0;0) $ là sai lầm vì rõ ràng PT có vô số nghiệm $(0;y) $

**batigoal** · 26-11-2010, 09:47 PM

Khi giải hpt đẳng cấp, người ta thường làm theo 2 bước
Bước 1: Xét x=0, kiểm tra xem với y tim được có là nghiệm không
Bươc 2 Xét $x \not=0 $ . Khi đó đặt y=kx.

26-11-2010, 10:16 AM	#1
minhzduc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Gia Lai Bài gởi: 17 Thanks: 12 Thanked 3 Times in 3 Posts	Hệ phương trình đẳng cấp Các bạn có thể giảng cho mình hiểu khi nào đặt y=tx hay khi nào đặt x=ty trong hệ đẳng cấp không? Mình đã thử đặt hai cách như trên cho một số bài ví dụ và nó đã ho các kết quả khác nhau. Mong các bạn giúp đỡ.

26-11-2010, 11:10 AM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Đặt $y=tx $ hay $x=ty $ đều được cả, bạn thử đưa ví dụ của bạn lên đây xem nào __________________ M.

26-11-2010, 11:35 AM	#4
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Bạn học gõ LaTeX cẩn thận đi, rồi post cả cách làm của bạn lên để xem sai ở đâu __________________ M.

26-11-2010, 12:28 PM	#5
minhzduc +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Gia Lai Bài gởi: 17 Thanks: 12 Thanked 3 Times in 3 Posts	Mình giải bài 1 thôi: Hệ $\Leftrightarrow $ $\begin{cases}2x^3-2xy^2+2y^3=2\\2x^3-x^2y+y^3=2\end{cases} $ Trừ vế theo vế: Có: $\ -2xy^2+x^2y+y^3=0 $.(1) 1/ Đặt y=tx (1) $\Leftrightarrow $ $\ x^3t(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ x=0 $\vee $ t=0 $\vee $ t=1. Tới chỗ này thấy t=0 nên hơi vô lí nên mình không tiếp tục giải nữa. 2/Đặt x=ty (1) $\Leftrightarrow $ $\ y^3(t^2-2t+1)=0 $ $\Leftrightarrow $ y=0 $\Rightarrow $ x=1 $\vee $ t=1$\Rightarrow $ x=y. Với x=y $\2x^3-x^2y+y^3=2 $ $\Leftrightarrow $ $\2y^3-y^3+y^3=0 $ $\Leftrightarrow $ y=1 $\Rightarrow $ x=1. Vậy nghiệm của hệ là: (1;0), (1;1)

26-11-2010, 12:43 PM	#8
khiemnguyen13 +Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2009 Bài gởi: 8 Thanks: 3 Thanked 31 Times in 5 Posts	Mình thấy cơ bản hệ này có nghiệm$\left ( x,y \right )= (0,0) $.Nên bạn đặt như vậy là sai lầm nếu không có điều kiện

26-11-2010, 09:33 PM	#12
DoBaChuGVToan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2009 Bài gởi: 170 Thanks: 35 Thanked 78 Times in 37 Posts	Khi phương trình hoặc hệ phương trình mà đẳng cấp với 2 biến , nếu đặt $y=tx $ thì phải xét $x=0 $ trước , chỉ khi $x \not=0 $ mới đặt được $y=tx $ VD sau là một minh chứng : Xét phương trình $x^4+x^2y^2=0 \ \ (1) $ Nếu đặt $y=tx $ ta thu được $x^4(t^2+1)=0 \Leftrightarrow x=0 $ Thay $x=0 $ vào $y=tx $ cho $y=0 $ . Vậy kết luận là $(1) $ có nghiệm duy nhất $(0;0) $ là sai lầm vì rõ ràng PT có vô số nghiệm $(0;y) $

26-11-2010, 09:47 PM	#13
batigoal Super Moderator Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 2,895 Thanks: 382 Thanked 2,968 Times in 1,295 Posts	Khi giải hpt đẳng cấp, người ta thường làm theo 2 bước Bước 1: Xét x=0, kiểm tra xem với y tim được có là nghiệm không Bươc 2 Xét $x \not=0 $ . Khi đó đặt y=kx.