Bất đẳng thức

tasequaylai20 · 21-12-2010, 08:34 PM

Cho a,b,c>0 và $a^3+b^3+c^3=3 $.
CMR: $\frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{3-b^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{3-c^2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2} $

manhnguyen94 · 21-12-2010, 10:19 PM

Dễ dàng c/m được:
$a+b+c \leq 3;\sum \sqrt{a}\leq 3 $
giả sử
$a \geq b \geq c \rightarrow a^2 \sqrt{a} \geq{b^2} \sqrt{b} \geq c^2 \sqrt{c};\frac{1}{\sqrt{3-a^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-b^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-c^2}} $
Nên :
$3\left ( \sum \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \right )\leq \left ( \sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\leq 3\sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} $
Ta sẽ c/m:
$ \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \geq \sqrt{2}a^3\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2\left ( a+2 \right )\geq 0 $

tasequaylai20 · 22-12-2010, 11:15 AM

[QUOTE=manhnguyen94;75272]
$3\left ( \sum \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \right )\leq \left ( \sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\leq 3\sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} $
QUOTE]

Anh ơi.

Em không hiểu chỗ này cho lắm.

Anh giải thích thêm cho em được không?

leviethai · 22-12-2010, 11:27 AM

Trích:

Nguyên văn bởi manhnguyen94

Dễ dàng c/m được:
$a+b+c \leq 3;\sum \sqrt{a}\leq 3 $
giả sử
$a \geq b \geq c \rightarrow a^2 \sqrt{a} \geq{b^2} \sqrt{b} \geq c^2 \sqrt{c};\frac{1}{\sqrt{3-a^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-b^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-c^2}} $
Nên :
$3\left ( \sum \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \right )\leq \left ( \sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\leq 3\sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} $
Ta sẽ c/m:
$ \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \geq \sqrt{2}a^3\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2\left ( a+2 \right )\geq 0 $

$\frac{1}{\sqrt{3-a^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-b^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-c^2}} $
Chỗ này bạn sắp xếp sai rồi.

Thực tế, bất đẳng thức này không đúng.
Với $a=1,b=0.5,c=\sqrt[3]{3-a^3-b^3} $, ta có vế trái bé hơn.
Với $a=0.2,b=0.3,c=\sqrt[3]{3-a^3-b^3} $, ta có vế trái lớn hơn.

21-12-2010, 08:34 PM	#1
tasequaylai20 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Tiền Hải - Thái Bình Bài gởi: 89 Thanks: 26 Thanked 12 Times in 11 Posts	Bất đẳng thức Cho a,b,c>0 và $a^3+b^3+c^3=3 $. CMR: $\frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{3-b^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{3-c^2}}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2} $ __________________ Vào ủng hộ diễn đàn mình mới làm nhé mọi người. http://a1tth.tk Khung soạn thảo đầy đủ hơn: http://a1tth.tk/equationeditor/editor.php

22-12-2010, 11:15 AM	#3
tasequaylai20 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2010 Đến từ: Tiền Hải - Thái Bình Bài gởi: 89 Thanks: 26 Thanked 12 Times in 11 Posts	[QUOTE=manhnguyen94;75272] $3\left ( \sum \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \right )\leq \left ( \sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\leq 3\sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} $ QUOTE] Anh ơi. Em không hiểu chỗ này cho lắm. Anh giải thích thêm cho em được không? __________________ Vào ủng hộ diễn đàn mình mới làm nhé mọi người. http://a1tth.tk Khung soạn thảo đầy đủ hơn: http://a1tth.tk/equationeditor/editor.php

21-12-2010, 10:19 PM	#2
manhnguyen94 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2009 Đến từ: 11 Toán CQB Bài gởi: 98 Thanks: 83 Thanked 69 Times in 38 Posts	Dễ dàng c/m được: $a+b+c \leq 3;\sum \sqrt{a}\leq 3 $ giả sử $a \geq b \geq c \rightarrow a^2 \sqrt{a} \geq{b^2} \sqrt{b} \geq c^2 \sqrt{c};\frac{1}{\sqrt{3-a^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-b^2}} \leq \frac{1}{\sqrt{3-c^2}} $ Nên : $3\left ( \sum \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \right )\leq \left ( \sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} \right )\left ( \sum \sqrt{a} \right )\leq 3\sum \frac{a^2}{\sqrt{3-a^2}} $ Ta sẽ c/m: $ \frac{a^2 \sqrt{a}}{\sqrt{3-a^2}} \geq \sqrt{2}a^3\Leftrightarrow \left ( a-1 \right )^2\left ( a+2 \right )\geq 0 $