Bài tập về lí thuyết hệ phương trình tuyến tính

[1054011023]

Định lí:Nếu mỗi vectơ của hệ {A1,A2,…,Am} đều được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {B1,B2,…,Bk} mà k<m thì hệ vectơ {A1,A2,…,Am}phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh định lí này bằng lí thuyết hệ phương trình tuyến tính.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Algebra]

Nguyên văn bởi 1054011023

Định lí:Nếu mỗi vectơ của hệ {A1,A2,…,Am} đều được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {B1,B2,…,Bk} mà k<m thì hệ vectơ {A1,A2,…,Am}phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh định lí này bằng lí thuyết hệ phương trình tuyến tính.

Giả thiết phản chứng rằng hệ {$A_1,A_2,....,A_m $} độc lập tuyến tính, khi đó ta có kết quả sau:

Theo đề bài ,mỗi vectơ của hệ {$A_1,A_2,....,A_m $} đều được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {$B_1,B_2,....,B_k $} nên ta luôn có L{$A_1,A_2,....,A_m $} $\subset $ L{$B_1,B_2,....,B_k $}, với L là kí hiệu của không gian tuyến tính được sinh bởi một hệ vector nào đó.

Theo giả thiết {$A_1,A_2,....,A_m $} độc lập tuyến tính nên dimL{$A_1,A_2,....,A_m $}=m và hệ sinh bởi các vector A là một không gian con của không gian sinh ra bởi các vector B, nên ta phải có $m \le $ dimL{$B_1,B_2,....,B_k $} $\le k $ hay $m \le k $, trái với giả thiết ban đầu.

Vậy ta có điều phải chứng minh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[1054011023]

Nhưng đề bài bảo là dùng lí thuyết hệ phương trình tuyến tính. cậu chứng minh cho mình bằng cách sử dụng phương pháp đó được không.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[batigoal]

Nguyên văn bởi 1054011023

Định lí:Nếu mỗi vectơ của hệ {A1,A2,…,Am} đều được biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {B1,B2,…,Bk} mà k<m thì hệ vectơ {A1,A2,…,Am}phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh định lí này bằng lí thuyết hệ phương trình tuyến tính.

Bài này để giải theo phong cách hệ phương trình tuyến tính thì chúng ta làm như sau.
Mình nêu ý tưởng thô khá chi tiết, bạn làm mịn là xong.

Xét hệ pt tuyến tính với ma trận mở rộng gồm các cột {A1,A2,…,Am}
$\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} &... &a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} &... &a_{2m} \\
..& .. & .. & ..\\
a_{m1} & a_{m2} &... &a_{mm}
\end{bmatrix}\sim \begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} &... &b_{1k} \\
b_{21} & b_{22} &... &b_{2k} \\
..& .. & .. & ..\\
b_{k1} & b_{k2} &... &b_{kk}
\end{bmatrix} $
Do $k<m $ nên pt có tổ hợp nghiệm $(x_1,x_2,...,x_k,0.0,...,0) $ với($m-k $) số 0.
với biểu diễn nghiệm như trên thì ta luôn chon được các giá trị tùy ý của x, vậy hêpt có vô số nghiệm hay
hệ vectơ {A1,A2,…,Am}phụ thuộc tuyến tính.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]