Phương pháp sử dụng hàm sinh xác định công thức tổng quát của dãy số

[batigoal]

Chào các bạn. Trong chuyên đề hàm sinh lần trước mình có nói đến một phần kiến thức sử dụng hàm sinh để tìm công thức tổng quát của dãy số . Sau đó mình có thời gian hơn thì mình viết sâu thêm về vấn đề này. bài viết này mình cũng đã hoàn thành khá lâu nhưng nay mới có dịp đăng tặng các bạn nhân dịp kỉ niệm 26 tháng 3 sắp tới.

I. Cơ sở lí thuyết hàm sinh

1.Định nghĩa: Hàm sinh của dãy số vô hạn $a_{0} ,a_{1} ,a_{2} ,...,a_{n} ,...$ là là một chuỗi hình thức được xác định bởi $G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +...+a_{n} x^{n} +...$:
2.Một số đẳng thức thường dùng trong hàm sinh:
a, $\dfrac{1}{1-x} =1+x+x^{2} +x^{3} +...$
b, $\dfrac{1}{(1-x)^{2} } =1+2x+3x^{2} +4x^{3} +...$

c, $\dfrac{1}{(1-x)^{n} } =1+nx+\frac{n(n+1)}{2!} x^{2} +\frac{n(n+1)(n+2)}{3!} x^{3} +...=\sum _{i=0}^{\infty }C_{i+n-1}^{i} x^{i} $ với $n\in N$

d, $\dfrac{1}{1+x} =1-x+x^{2} -x^{3} +...$

e, $\dfrac{1}{(1-ax)^{2} } =1+2ax+3a^{2} x^{2} +4a^{3} x^{3} +...$

f, $\dfrac{1}{1-x^{r} } =1+x^{r} +x^{2r} +x^{3r} +...$

g, $\dfrac{1}{1+x^{r} } =1-x^{r} +x^{2r} -x^{3r} +...$

II.Ứng dụng hàm sinh vào các bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số điển hình.
Thông thường các bạn biết đến phương pháp chứng minh quy nạp hoặc phương pháp giải phương trình sai phân để tìm công thức tổng quát của dãy số . Bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn thêm một phương pháp nữa cũng khá hay để tìm công thức tổng quát của dãy số dựa trên cơ sở hàm sinh.Hi vọng rằng qua 8 ví dụ minh họa sau bạn đọc sẽ nắm chắc và vận dụng phương pháp sử dụng hàm sinh tìm công thức tổng quát của dãy số.

Ví dụ 1:

Tìm công thức tổng quát của dãy số Fibonacci($F_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {F_{1} =F_{2} =1} \\ {F_{n} =F_{n-1} +F_{n-2} } \end{array}\right. n\ge 3\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy $(F_n )$, và giả sử $F_0=0$ chúng ta có:
$$G(x)=F_{0} +F_{1} x+F_{2} x^{2} +F_{3} x^{3} +... $$$$-xG(x)= -F_{0} x-F_{1} x^{2} -F_{2} x^{3} -... $$$$-x^{2} G(x)= -F_{0} x^{2} -F_{1} x^{3} -F_{2} x^{4} -... $$ Từ 3 đẳng thức trên, ta có :
\[(1-x-x^{2} )G(x)=F_{0} +(F_{1} -F_{0} )x+(F_{2} -F_{1} -F_{0} )x^{2} +...=x\]
\[\Leftrightarrow G(x)=\frac{x}{1-x-x^{2} } \]
Phân tích $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{A}{1-\alpha x} +\dfrac{B}{1-\beta x} $
Với $\alpha =\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} ;\beta =\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} $ là hai nghiệm của phương trình $1-x-x^{2} =0$\\
Quy đồng và đồng nhất hệ số, chúng ta được $A=\frac{1}{\sqrt{5} } ;B=-\frac{1}{\sqrt{5} } $.
Vậy $G(x)=\dfrac{x}{1-x-x^{2} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)$

\[\Leftrightarrow \sqrt{5} G(x)=\left(\dfrac{1}{1-\alpha x} -\dfrac{1}{1-\beta x} \right)=\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha x)^{n} - \sum _{k=1}^{\infty }(\beta x)^{n} =\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha ^{n} - \beta ^{n} )x^{n} \]
Vậy $G(x)=\sum _{k=1}^{\infty }\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } x^{n} $
Hệ số của trong khai triển là $F_{n} =\dfrac{\alpha ^{n} -\beta ^{n} }{\sqrt{5} } =\dfrac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\dfrac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $F_{n} =\frac{1}{\sqrt{5} } \left[\left(\frac{1+\sqrt{5} }{2} \right)^{n} -\left(\frac{1-\sqrt{5} }{2} \right)^{n} \right]$,$n\ge 0$
Nhận xét: Vậy với cách sử dụng hàm sinh chúng ta cũng đã tìm ra được công thức tổng quát của dãy số Fibonacci nổi tiếng.
Bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu thêm một số ví dụ tương tự như dãy trên để thấy rõ tính hiệu quả của phương pháp hàm sinh. Chũng ta cùng đi đến ví dụ sau:

Ví dụ 2

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :
\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =1;a_{1} =2} \\ {a_{n+2} =5a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0 (*)\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$ là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$ -5xG(x)= -5a_{0} x-5a_{1} x^{2} -5a_{2} x^{3} +... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên và kết hợp (*) ta có:\[G(x)-5xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -5a_{0} )x+(a_{2} -5a_{1} +4a_{0} )x^{2} +...=1-3x\]
\[\Leftrightarrow (1-5x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-5x+4x^{2} } =\dfrac{2}{3} \left(\dfrac{1}{1-x} \right)+\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{1}{1-4x} \right)$
\[=\dfrac{2}{3} (1+x+x^{2} +...)+\dfrac{1}{3} {\rm [}1+(4x)+(4x)^{2} +...{\rm ]}\]
Do đó hệ số của $x^n$ trong khai triển của $G(x)$ là $\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $ nên $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =\dfrac{2}{3} +\dfrac{1}{3} 4^{n} $,$n\ge 0$.
Nhận xét:Như vậy hàm sinh đã giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi:
$\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a;a_{1} =b} \\ {a_{n+2} =p.a_{n+1} +q.a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0$
Để ý với bài toán ở ví dụ1 và ví dụ 2, chúng ta thấy hàm G(x) có mẫu số là tam thức bậc hai, chẳng hạn ở ví dụ 2 chúng ta có mẫu số của hàm sinh là $f(x)=1-5x+4x^{2} $ có 2 nghiệm phân biệt là $x=1;x=\frac{1}{4} $. Vậy trong trường hợp mẫu số của G(x) là phương trình bậc hai có nghiệm kép thì chúng ta làm như thế nào? Ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta xử lí tình huống đó:

Ví dụ 3

Tìm công thức tổng quát của dãy số ($a_n$ )với :\[\left\{\begin{array}{l} {a_{0} =a_{1} =1} \\ {a_{n+2} =4a_{n+1} -4a_{n} } \end{array}\right. n\ge 0\]
Lời Giải
Đặt $G(x)$là hàm sinh cho dãy ($a_n$ ), chúng ta có:
$G(x)=a_{0} +a_{1} x+a_{2} x^{2} +... $
$-4xG(x)= -4a_{0} x-4a_{1} x^{2} -4a_{2} x^{3} -... $
$4x^{2} G(x)= 4a_{0} x^{2} +4a_{1} x^{3} +... $
Cộng ba đẳng thức trên ta có:
\[G(x)-4xG(x)+4x^{2} G(x)=a_{0} +(a_{1} -4a_{0} )x=1-3x \Leftrightarrow (1-4x+4x^{2} )G(x)=1-3x\]
Do đó $G(x)=\dfrac{1-3x}{1-4x+4x^{2} } =\dfrac{1-3x}{(1-2x)^{2} } =\dfrac{1}{1-2x} -\dfrac{x}{(1-2x)^{2} } $
\[=\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n} -x\sum _{n=1}^{\infty }(2x)^{n-1} =\sum _{n=1}^{\infty }(2^{n} -n2^{n-1} )x^{n} \]
Hệ sô của $x^{n} $trong khai triển của $G(x)$là $2^{n} -n2^{n-1} $ nên $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Vậy dãy số cần tìm có công thức tổng quát dạng $a_{n} =2^{n} -n2^{n-1} $,$n\ge 0$.
Nhận xét: Trong ví dụ 2 và ví dụ 3 chúng ta thấy mẫu số của hàm sinh G(x) đều có nghiệm thực để chúng ta phân tích thành các nhân tử có dạng .
Câu hỏi đặt ra là “Nếu mẫu số của hàm sinh G(x) vô nghiệm thì chúng ta sẽ không có phân tích thành các nhân tử có dạng . Khi đó chúng ta phải giải quyết bài toán này như thế nào”. Đặt ra câu hỏi này, tôi đã dành thời gian suy nghĩ và tìm hiểu vì trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy số vô nghiệm thì nhìn chung chúng ta chỉ biết đến phương pháp giải phương trình sai phân là giải quyết được bài toán này thông qua số phức nhưng với hàm sinh thì sao?. Dựa vào ý tưởng số phức ở phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát của dãy số thật thú vị là cũng vẫn với ý tưởng số phức, chúng ta áp dụng vào hàm sinh và thấy rằng hàm sinh cũng giải quyết tốt bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số trong trường hợp phương trình đặc trưng của dãy vô nghiệm.

Bài viết còn tiếp tục, mời bạn đọc theo dõi tiếp kì sau.

Người viết: Hoàng Minh Quân

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]