Thắc mắc về một bài toán không gian vector

[1110004]

Thầy của em em có cho bài toán như sau:

" Cho $\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương. Trong $\mathbb{R}^+$ ta định nghĩa hai phép toán:

$$\forall x;y\in \mathbb{R}^+ :x\bigotimes y=xy$$

$$\forall a\in \mathbb{R}^+,x\in \mathbb{R}^+ a\times x=x^{a}$$

Biết rằng $(\mathbb{R};\bigotimes ;\times )$ là một không gian vector hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này''

Em có 2 thắc mắc sau:

1) Không gian vector có nhất thiết phải xây dựng trên trường vô hướng không dạ, vành thì có được không ạ !

2) Ý tác giả bài toán là xem như đây là một KGVT với trường vô hướng là $R^+$. Nhưng em không biết trên trường vô hướng này định nghĩa phép cộng và nhân là theo nghĩa thông thường hay theo một cách khác, với cách cộng nhân thông thường thì đây không là trường. (không tìm được phần tử đối). Còn nếu định nghĩa cộng và nhân trong trường vô hướng khác đi thì chắc gì thỏa điều kiện cái trên là 1 KGVT (vì khi đó không thỏa tiên đề $6,7$)

Tóm lại bài toán phán như thánh làm em cũng hoang man!!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]