Một số bài toán về dãy số và giới hạn hữu hạn

[LiveToLive]

Bài 1:
Cho $(x_n) $ thỏa mãn: $x_1=1, x_{n+1}=\sqrt{x_n(x_n+1)(x_n+2)(x_n+3)+1} $ $\forall n \in N* $
Đặt $y_n= \frac{1}{x_1+2}+ \frac{1}{x_2+2}+...+ \frac{1}{x_n+2} $
Tính $limy_n $

Bài 2:
Cho $(x_n) $ thỏa mãn $x_1=\sqrt{3}, x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3} \forall n \in N* $
Tìm $lim\frac{x_{n+1}}{x_n} $

Bài 3:
Cho $(x_n) $ thỏa mãn $x_1=\frac{1}{6}, x_{n+1}=\frac{3x_n}{2x_n+1} $
CMR dãy có giới hạn hữu hạn.Tìm giới hạn ấy và tìm SHTQ

Bài 4: Hình như cũng là đề chọn đội tuyển Bắc Ninh năm nay thì phải:
Cho $f(x) $ xác định trên R thỏa mãn $f(x+1)=\sqrt{f(x)+6} $
Tính $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x) \right $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[yugioh_vt1993]

Ta có $ x_{n+1}= \sqrt{(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1}=x^2_n+3x_n+1 $.
Suy ra
$ x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2) \Leftrightarrow \frac{1}{x_{n+1}+1}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x_{n}+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1} $.
Do đó $\frac{1}{x_1+2}+\frac{1}{x_2+2}+....+\frac{1}{x_n+ 2}=\frac{1}{x_1+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}. $

Dễ thấy $\lim {x_n}=+\infty $ nên cho qua giới hạn là xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Bài 2:
$x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3} $
$\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{n_n}=\sqrt{9+\dfrac{11}{x_n}+ \dfrac{3}{x_n^2}} $ (*)
Mặt khác, ta cm được $\lim x_n=+\infty $
Từ (*), chuyển qua giới hạn, ta có $\lim \frac{x_{n+1}}{x_n}=3 $
-------------------------
Bài 3:
Đặt $u_n=\frac{1}{x_n} $, khi đó ta có $u_{n+1}=\frac{1}{3} u_n+\frac{2}{3} $
$\Rightarrow u_{n+1}-1=\frac{1}{3}(u_n-1) $
$\Rightarrow u_n=\frac{5}{3^{n-1}}+1 $
$\Rightarrow x_n=\frac{3^{n-1}}{5+3^{n-1}} $
$\Rightarrow \lim x_n=1 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Nguyên văn bởi novae

Bài 2:
$x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3} $
$\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}}{n_n}=\sqrt{9+\dfrac{11}{x_n}+ \dfrac{3}{x_n^2}} $ (*)
Mặt khác, ta cm được $\lim x_n=+\infty $
-------------------------

Bác làm rõ hơn chỗ này chút được ko?
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

$x_{n+1}=\sqrt{9x_n^2+11x_n+3}>3x_n $, suy ra $\{x_n\} $ là dãy tăng
Giả sử $\{x_n\} $ bị chặn, suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn $\lim x_n=\ell,\, \ell > \sqrt3 $
Từ hệ thức truy hồi, chuyển qua giới hạn, ta có $\ell=\sqrt{9\ell^2+11\ell+3}\Rightarrow \ell=-1,\ell=\frac{-3}{8} $ (KTMĐK)
Vậy $\{x_n\} $ tăng và không bị chặn trên, suy ra $\lim x_n=+\infty $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Thien tai]

Bài 4 tính lim thì chỉ thay lim f(x) = a vào giải pt là ok
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Nguyên văn bởi Thien tai

Bài 4 tính lim thì chỉ thay lim f(x) = a vào giải pt là ok

Bạn nên giải rõ ràng ra, không nên chém gió. Chỗ quan trọng nhất là phải chứng mình nó có giới hạn thì bạn chưa làm, chứ cái phương trình $a=\sqrt{a+6} $ thì lớp 6 cũng làm được.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi LiveToLive

Bài 4: Cho $f(x) $ xác định trên R thỏa mãn $f(x+1)=\sqrt{f(x)+6} $
Tính $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x) \right $

Thử bắt chước cách làm theo dãy số xem sao:
Trước hết, ta thấy: $f(x) \ge 0, \forall x $
Với $x_0 $ là một số thực bất kì, đặt $f(x_0)=a \ge 0 $. Ta sẽ chứng minh rằng: $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_0+n)=3 $.
Thật vậy:
Đặt $f(x)=u_0=a \ge 0 $. Xét dãy số:
$u_n=f(x_0+n), \forall n\Rightarrow u^2_{n+1}=u_n+6,\forall n $.
- Nếu $a<3 $ thì bằng quy nạp, ta chứng minh được: $u_n<3 $ và dãy này tăng; suy ra nó có giới hạn hữu hạn.
- Nếu $a \ge 3 $ thì bằng quy nạp, ta chứng minh được: $u_n \ge 3 $ và dãy này giảm; suy ra nó cũng có giới hạn hữu hạn.
Thay vào PT của dãy, ta tìm được giới hạn đó là 3.

Đã chứng minh được rằng: với mọi số thực x thì $\lim_{n\rightarrow +\infty}f(x_0+n)=3 $, không biết có suy ra được:$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=3 $ chưa hay còn vấn đề gì nữa!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Một bài nữa:
Bài 5:
Cho dãy {u_n} thỏa mãn:
$u_1=1 $
$u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{u_{n}} $
Tìm $lim \frac{u_n}{\sqrt{n}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

[Only registered and activated users can see links. ]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hung95]

Cho dãy số $ u_n $ xác định bởi
$u_{n+1}= \frac{u_n^2}{2}-1, u_1= \frac{1}{3} $
cm $u_n $ có giới hạn và tìm giới hạn đó
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Một bài nữa:
Bài 6: Cho dãy số ${x_n} $ xác định bởi
$x_1=a $, $x_{n+1}=\frac{2x_n^3}{3x_n^2-1} $
Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số xác định và có giới hạn hữu hạn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Sao ko tăng thêm phần hấp dẫn cho bài 5 nhỉ
Tìm $lim\frac{\sum u_{n}}{n\sqrt{n}} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[novae]

Nguyên văn bởi manhnguyen94

Sao ko tăng thêm phần hấp dẫn cho bài 5 nhỉ
Tìm $\lim\frac{\sum u_{n}}{n\sqrt{n}} $

Áp dụng định lý Cesaro, ta có $\lim \frac{\sum u_{n}}{n\sqrt{n}} =\lim \frac{u_n}{\sqrt n}=\sqrt 2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Nguyên văn bởi novae

Áp dụng định lý Cesaro, ta có $\lim \frac{\sum u_{n}}{n\sqrt{n}} =\lim \frac{u_n}{\sqrt n}=\sqrt 2 $

Hình như bác sai rồi
$lim\frac{\sum u_{n}}{n\sqrt{n}}=\frac{2\sqrt{2}}{3} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]