Một số bài toán về dãy số và giới hạn hữu hạn

[novae]

Mình tính nhầm, định lý Cesaro không áp dụng được trong trường hợp này
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nếu $f(x) $ là $1 $ hàm co trên D thì dãy $\{x_n\} $xác định bởi $x_0=a \in D, x_{n+1}=f(x_n) $ hội tụ . Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên D của phương trình $x=f(x). $

Chứng minh: với mọi $n > m $ thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có :
$|x_n-x_m|=|f(x_n-1)-f(x_m-1)| \le q|x_{n-1}-x_{m-1}| \le ...\le q^m|x_{n-m}-x_{0}| $

suy ra $\{x_n\} $ bị chặn. xét $\varepsilon >0 $. Từ $(1,1) $, do $q < 1 $ và $|x_{n-m}-x_0| $ bị chặn nên ta suy ra tồn tại $N $ sao cho $q^N|x_{n-m}-x_{0}| \le \varepsilon $. suy ra dãy này là dãy Cauchy và do đó nó hội tụ.

các Anh giải thích hộ em cái tại sau dòng 1 suy ra $\{x_{n}\} $ bị chặn ạ
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huynhcongbang]

Nguyên văn bởi daylight

các Anh giải thích hộ em cái tại sau dòng 1 suy ra $\{x_{n}\} $ bị chặn ạ

Đây là một định lý quan trọng trong việc xét giới hạn của dãy $u_{n+1}=f(u_n) $. Đoạn chứng minh của bạn thiếu đi vài dòng rồi thì phải.

Bổ sung thêm như sau:
(sau dòng thứ 4 trong c/m của bạn)
$|x_n-x_0| \le |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_2-x_1|+|x_1-x_0| \\\le (q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)|x_1-x_0| $.
Cho n tiến tới vô cực, do $|q| <1 $ nên $\lim [q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1]=\frac{1}{1-q} $.
Suy ra: $|x_n-x_0| \le \frac{1}{1-q}|x_1-x_0| $.
Từ đây suy ra dãy bị chặn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Nguyên văn bởi huynhcongbang

Đây là một định lý quan trọng trong việc xét giới hạn của dãy $u_{n+1}=f(u_n) $. Đoạn chứng minh của bạn thiếu đi vài dòng rồi thì phải.

Bổ sung thêm như sau:
(sau dòng thứ 4 trong c/m của bạn)
$|x_n-x_0| \le |x_n-x_{n-1}|+|x_{n-1}-x_{n-2}|+...+|x_2-x_1|+|x_1-x_0| \\\le (q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1)|x_1-x_0| $.
Cho n tiến tới vô cực, do $|q| <1 $ nên $\lim [q^{n-1}+q^{n-2}+...+q+1]=\frac{1}{1-q} $.
Suy ra: $|x_n-x_0| \le \frac{1}{1-q}|x_1-x_0| $.
Từ đây suy ra dãy bị chặn.

$|x_{n}-x_0| $ bị chặn nên$ |x_{m-n}-x_{0}| $bị chặn nên

$|x_{m-n}-x_{0}| <\varepsilon \Rightarrow q^m|x_{m-n}-x_{0}|<\varepsilon \Rightarrow |x_n -x_m| < <\varepsilon $

Em hiểu nó thế này đúng hay sai ạ

anh chứng minh luôn cho em cái là dãy Cauchy thì hội tụ được không ạ, thanks anh trước

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Tính :

$\lim_{n \to +\infty}\sqrt[n]{n!} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Bài 7:
Cho $(x_n) $ xác định bởi:
$x_1=a>1 $
$2010x_{n+1}=x_n^2+2009x_n $
Tính $lim(\frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[manhnguyen94]

Bài 7 :
Ta dễ c/m đc dãy$x_{n} $có giới hạn vô cực
Ta có:
DK<=>$2010\left ( x_{n+1}-x_{n} \right )=x_{n}\left ( x_{n}-1 \right )
$
<=>$2010 \frac{x_{n+1}-x_{n}}{\left ( x_{n}-1 \right )\left ( x_{n+1}-1 \right )}=\frac{x_{n}}{x_{n+1}-1} $
$=>2010\sum \left ( \frac{1}{x_{n}-1} \right-\frac{1}{x_{n+1}-1} )=\sum \frac{x_{n}}{x_{n+1}-1} $
Từ đó dễ suy ra lim =$2010\frac{1}{a-1} $
------------------------------
Bài của mình chưa ai giải ak
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quynhanhbaby]

Bài 8. Cho dãy số $(x_{n}) $ (n =1,2,...) với$x_{1} =1; x_{n+1}=\frac{x_{n}^{24}}{24} +x_{n} $ , $n\in \mathbb{N}^{*} $. Tìm giới hạn của dãy số $(u_{n}) $ với $u_{n}=\frac{x_{1}^{23}}{x_{2}}}+\frac{x_{2}^{23}}{ x_{3}}}+...+\frac{x_{n}^{23}}{x_{n+1}}} $.
Bài 9. Cho dãy số $(u_{n}) $ thoả mãn$u_{1}=1; u_{n+1}=\frac{2009u_{n}\left ( 1+u_{n}^{2} \right )}{2009u_{n}^{2}-u_{n}+2009} $

Tìm $lim\left\frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^{n} \frac{u_{i}^{2}}{1+u_{i}^{2}}\right{} ) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quynhanhbaby]

Hai bài này, đều là đề trong THTT tháng 10. Bài 8 thì dễ rồi, còn bài 9 thì xin mọi người cho ý kiến có phải đề bài có vấn đề không? Theo mình thì $lim\frac{1}{n}\left ( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+u_{i}^{2}} \right ) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[forever_love]

Cho: u(n)

$u_{n + 1} = u_{n} +\begin{bmatrix}\frac{u_{n}}{2}\end{bmatrix} + 1 $
$\begin{bmatrix}\frac{u_{n}}{2}\end{bmatrix} $là phần nguyên.
Tìm: u(n)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[Aotrang]

To: daylight. Đề bài: Tính $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}. $

Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng $n!>(\dfrac{n}{3})^n . $ Từ đó suy ra $\sqrt[n]{n!}>\dfrac{n}{3}. $
Mà $\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{3}=+\infty $ nên $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n!}=+\infty. $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[daylight]

Bài 10:Cho dãy $\{a\} $ xác định bởi

$\begin{cases} a_0=1999 \\ a_{n+1}=\frac{a_n^2}{1+a_n} \end{cases} \foall n \ge 0 $

Tính $[a_n] $ $( 0 \le n \le 999) $

Bài 11: Có bao nhiêu số nguyên dương $\{a_n\} $ thỏa mãn :

$a_0=1,a_1=2,|a_{n+2}.a_n-a^{n+2}|=1 $

Bài 12:

Cho dãy số $\{S_n\} $ với $S_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{i=1}^n \frac{2^i}{i} $

Chứng minh :$\lim_{n \to +\infty} S_ $n tồn tại và tìm giới hạn đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Bài 13:
Cho $(x_n) $ xác định bởi:
$x_1=\frac{3}{2} $
$x_{n+1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}(x_n-1)^2 $
Tìm $lim x_n $

Bài 14: (THTT tháng 8/2010- đã hết hạn)
Cho $(x_n) $ xác định: $x_1=a $
$x_{n+1}=2x_n^3-5x_n^2+4x_n $
Tìm a để dãy có giới hạn hữu hạn.Tìm giới hạn đó.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[YUGI_94_K51]

Bài 13:
ta sẽ CM $1 < {x_n} < 2 $ thật vậy:
Ta có: ${x_{n + 1}} = \frac{3}{2} - \frac{{{{\left( {{x_n} - 1} \right)}^2}}}{2} \le \frac{3}{2} < 2 \forall n $
Ta CM $x_n>1 $
với n=1 đúng
giả sử đúng với n=k
${x_k} > 1 \Rightarrow 0 < {x_k} - 1 < 1 \Rightarrow 0 < {\left( {{x_k} - 1} \right)^2} < 1 \Rightarrow {x_{k + 1}} > 1 $
theo nguyên lí quy nạp thì $x_n>1 \forall n $

Đặt $f\left( x \right) = \frac{3}{2} - \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2} $
$f'\left( x \right) = 1 - x<0 $
mà f là hàm liên tục nên f(x) nghịch biến
$\Rightarrow g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) $ đồng biến
Xét 2 dãy con:
$\left( {{a_n}} \right):{a_n} = {x_{2n - 1}} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {a_1} = \frac{3}{2} \\ {a_{n + 1}} = g\left( {{a_n}} \right) \\ \end{array} \right. $

$\[\left( {{b_n}} \right):{b_n} = {x_{2n}} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {b_1} = \frac{{11}}{8} \\ {b_{n + 1}} = g\left( {{b_n}} \right) \\ \end{array} \right. $

Ta có: $b_2 > b_1 $ ta CM theo quy nạp rằng $(b_n) $ là dãy tăng (lưu ý hàm g(x) đồng biến) và bị chặn trên bởi 2 nên $(a_n) $ có lim hữu hạn đặt là L
$ \Rightarrow L = \frac{3}{2} - \frac{{{{\left( {L - 1} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow L = \sqrt 2 $

tương tự có $a_2 > a_1 $ và $(a_n) $ là dãy giảm và bị chặn bởi 1 nên nó có lim hữu hạn đặt là H
$ \Rightarrow H = \frac{3}{2} - \frac{{{{\left( {H - 1} \right)}^2}}}{2} \Rightarrow H = \sqrt 2 $

lại có 2 dãy $(a_n) $ và $(b_n) $ lấy hết tất cả các phần tử của $(x_n) $
Vậy $(x_n) $ có giới hạn là $\sqrt2 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[LiveToLive]

Ai đó làm giúp mình bài 14 với!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]