Diễn Đàn MathScopeDiễn Đàn MathScope
  Diễn Đàn MathScope
Ghi Danh Hỏi/Ðáp Thành Viên Social Groups Lịch Ðánh Dấu Ðã Ðọc

Go Back   Diễn Đàn MathScope > Đại Học Và Sau Đại Học/College Playground > Tài Liệu/Documents

News & Announcements

Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé !

* Nội quy MathScope.Org

* Một số quy định chung !

* Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope

* Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây

* Những câu hỏi thường gặp

* Về việc viết bài trong Box Đại học và Sau đại học


Trả lời Gởi Ðề Tài Mới
 
Ðiều Chỉnh Xếp Bài
Old 27-03-2017, 09:57 PM   #1
Ngonkhtn
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gởi: 60
Thanks: 11
Thanked 16 Times in 15 Posts
Định lý mật độ Chebotarev

Mệnh đề 1. $\left\{p |p\equiv 1 \mod 8,2 \notin \mathbb{F}_p^{\times^{4}}\right\}$ trong tập các số nguyên tố có mật độ tự nhiên 1/8.
(Tập S các nguyên tố hữu hạn trong một trường K có mật độ tự nhiên $\delta$ nếu
$$\lim_{N\to \infty} \frac{|\left\{\mathfrak{p}\in S|\mathbb{N}\mathfrak{p}\leq N\right\}|}{|\left\{\mathfrak{p}|\mathbb{N} \mathfrak{p} \leq N \right\}|}=\delta.)$$
Ta chứng minh bằng cách áp dụng định lý mật độ Chebotarev:
Định lý mật độ Chebotarev.
Cho L là một mở rộng Galois hữu han của trường số K, với nhóm Galois G, và C là một lớp liên hợp trong G. Tập hợp các ideal nguyên tố $\mathfrak{p}$ của K sao cho $(\mathfrak{p},L/K)=C$ có mật độ |C|/|G|.
Ðặt $L=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$ và G=Gal($L/\mathbb{Q}$). Nhóm G là nhóm $D_8$ sinh bởi $$\sigma: \sqrt[4]{2} \mapsto \sqrt[4]{2}i$$ $$i\mapsto i$$ và $$\tau: \sqrt[4]{2} \mapsto \sqrt[4]{2}$$ $$i\mapsto -i$$. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy rằng $\left\{\sigma^2\right\}$ là một lớp liên hợp của G. Ta sẽ chỉ ra $\left\{p |p\equiv 1 \mod 8,2 \notin \mathbb{F}_p^{\times^{4}}\right\}=\left\{p|(p,L/K)=\sigma^2\right\}$ và như vậy mệnh đề đúng như là một hệ quả của định lý mật độ Chebotarev. Đặt $K=\mathbb{Q}(i)$. Mục tiêu là tính các kí hiệu Artin trong mở rộng $L/\mathbb{Q}$. Đầu tiên, cần tìm các nguyên tố rẽ nhánh trong $L/\mathbb{Q}$. Thay vì vậy, chỉ cầm tìm các nguyên tố rẽ nhánh trong $L/K$ và $K/\mathbb{Q}$. Rõ ràng 2 là nguyên tố duy nhất rẽ nhánh trong $K/\mathbb{Q}$ và disc$(L/K)=$disc$(X^4-2)=(-2)^{11}$ (m=deg(f),disc$(f(X))=(-1)^{(m-1/2)}$Nm$_{L/K}(f'(\alpha))$) nên cùng lắm (1+i) rẽ nhánh trong L/K. Do đó 2 là nguyên tố duy nhất rẽ nhánh trong $L/\mathbb{Q}.$
Như vậy, kí hiệu Artin chỉ định nghĩa với các nguyên tố lẻ. Ta chứng minh $\left\{p|(p,L/K)=\sigma^2\right\}\subset \left\{p |p\equiv 1 \mod 8,2 \notin (\mathbb{F}_p^{\times^{4}})\right\}$.
Thật vậy, gọi $\mathfrak{B}$ là một nguyên tố bất kì của L nắm trên p và đặt $\mathfrak{p}=\mathfrak{B}\cap K$. Giả sử số nguyên tố p thỏa mãn $p\equiv 1$ mod 8 và $2 \notin \mathbb{F}_p^{\times^{4}}$ thì p phân rã trong K. Do đó công thức $(\mathfrak{B},L/\mathbb{Q})^{f(\mathfrak{p}/p)}=(\mathfrak{B},L/K)$ kéo theo $(\mathfrak{B},L/\mathbb{Q})=(\mathfrak{B},L/K)$. Như vậy, $(\mathfrak{B},L/\mathbb{Q}) \in$ Gal(L/K)=$\left\{1,\sigma,\sigma^2,\sigma^3\right\}$ và $(\mathfrak{B},L/\mathbb{Q})(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}u$ với u=$1,-1,i,-i$. Từ định nghĩa phần tử Frobenius, u thỏa mãn $\sqrt[4]{2}u\equiv (\sqrt[4]{2})^p$ mod $\mathfrak{B}$ hay $\sqrt[4]{2}((\sqrt[4]{2})^{p-1}-u) \equiv 0$ mod $\mathfrak{B}$. $\mathfrak{B}$ không nằm trên 2 nên điều này kéo theo $(\sqrt[4]{2})^{p-1}\equiv u$ mod $\mathfrak{B}$. $2^{(p-1)/2}=\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{(p^2-1)/8}=1$ mod p nên $u^2\equiv 1$ mod $\mathfrak{B}$. Như vậy u=1 hoặc u=-1. Do $\mathbb{F}_p^{\times}$ là nhóm xích p-1 phần tử nên nếu $2^{(p-1)/4}\equiv 1$ mod p thì $2\in \mathbb{F}_p^{\times^4}$, trái với giả thiết. Vậy u=-1 và $(p,L/\mathbb{Q})=\sigma^2$.
Hơn nữa, điều ngược lại cũng đúng. Tức là nếu $p\neq 2,(p,L/\mathbb{Q})=\sigma
^2$ thì $p\equiv 1$ mod 8 và $2\notin \mathbb{F}_p^{\times^4}$. Thật vậy, $\sigma^2(\sqrt(2))\equiv (\sqrt(2))^p$ mod $\mathfrak{B}$ kéo theo $2^{(p-1)/2}\equiv 1$ mod p nên $p \equiv 1,-1$ mod 8. $\sigma^2(i)\equiv i^p$ mod \mathfrak{B} kéo theo $i^{p-1}\equiv 1$ mod $\mathfrak{p}$, dẫn tới $p\equiv 1$ mod 8. Từ $\sigma^2(\sqrt[4]{2})\equiv (\sqrt[4]{2})^p$ mod $\mathfrak{B}$, $2^{(p-1)/4}\equiv -1$ mod p. Vậy 2 không là lũy thừa bậc bốn modulo p.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: Ngonkhtn, 27-03-2017 lúc 10:07 PM
Ngonkhtn is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
Trả lời Gởi Ðề Tài Mới

Bookmarks

Ðiều Chỉnh
Xếp Bài

Quuyền Hạn Của Bạn
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Mở
Smilies đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt

Chuyển đến


Múi giờ GMT. Hiện tại là 12:39 PM.


Powered by: vBulletin Copyright ©2000-2018, Jelsoft Enterprises Ltd.
Inactive Reminders By mathscope.org
[page compression: 39.87 k/43.19 k (7.69%)]