Bài tập về đa thức bất khả quy

n.t.tuan · 03-01-2008, 12:38 AM

Topic này đặt ở đây cũng được , ở box Đại số cũng được. Mình chọn ở đây vì bên box kia đông quá.

Bài 1.
Cho f là một đa thức với hệ số nguyên có bậc n và $\alpha_1,...,\alpha_n $ là các nghiệm của nó. Chứng minh rằng nếu $f(x_0) $ là số nguyên tố với một số nguyên $x_0 $ sao cho $|x_0|>M+1 $ thì f là bất khả quy trên Z, ở đây $M=\max\alpha_i $ .

Bài 2.
Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng đa thức $x^p-x-a $ là bất khả quy trên Z.

Bài 3.
f là một đa thức với hệ số nguyên . Nếu có số nguyên dương n sao cho
1)Tất cả các nghiệm của f nằm trong nửa mặt phẳng $Re(z)<n-\frac{1}{2} $
2)$f(n-1)\not = 0 $
3)f(n) là số nguyên tố.
Chứng minh rằng f là bất khả quy trên Z.

Bài 4.
a)$f(x)=f_nx^n+...+f_0 $ là đa thức với hệ số nguyên, ở đó $|f_0|>1 $. Gọi $\{c_1,...,c_r\} $ là tập các ước của $|f_0| $. Giả sử f nhận các giá trị nguyên tố $p_1,...,p_n $ tại n số nguyên phân biệt $a_i $ sao cho $|a_i|>2 $ và $a_i $ không chia hết $c_j\pm 1 $ , ở đây i=1,...,n và j=1,...,r. Chứng minh rằng f là bất khả quy.
b)Cho $a_1,...,a_n,r,s $ là các số nguyên sao cho $|a_k|>2 $. Cho các số $q=(-1)^na_1...a_n+s $ và $p_k=ra+k+s $ là các số nguyên tố với $q\pm 1 $ không chia hết cho $a_k $, ở đây k=1,...,n. Chứng minh rằng đa thức $(x-a_1)...(x-a_n)+rx+s $ bất khả quy trên Z.

Bài 5.
Cho $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+pa_n $ là một đa thức với hệ số nguyên và p là số nguyên tố ($a_n $ cũng là số nguyên). Chứng minh rằng nếu $p>\sum_{i=0}^{n-1}|a_n|^{n-1-i}|a_i| $ thì f là bất khả quy trên Z.

Bài 6.
Cho $a_i $ là n số nguyên phân biệt.
a)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)-1 $ bất khả quy trên Z.
b)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)+1 $ bất khả quy trên Z, trừ các trường hợp $(x-a)(x-a-2)+1=(x-a-1)^2 $ và $(x-a)(x-a-1)(x-a-2)(x-a-3)+1=((x-a-1)(x-a-2)-1)^2 $.
c)Chứng minh rằng $[(x-a_1)...(x-a_n)]^2+1 $ bất khả quy trên Z.

Bài 7.
Chứng minh rằng mỗi đa thức với hệ số nguyên có thể biểu diễn như là tổng của hai đa thức bất khả quy trên Z.

Bài 8.
a)f là một đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị 1 tại nhiều hơn 3 điểm nguyên. Chứng minh rằng $f(n)\not = -1\forall n\in\mathbb{Z}. $
b)a,b là các số nguyên sao cho đa thức $ax^2+bx+1 $bất khả quy trên Z. Giả sử n>6 và $a_1,...,a_n $ là các số nguyên phân biệt , $\varphi (x)=(x-a_1)...(x-a_n) $. Chứng minh rằng $a\varphi^2(x)+b\varphi (x)+1 $ là bất khả quy trên Z.

Bài 9.
Cho$ F\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_n] $ và f(x)=F(x,...,x). Chứng minh rằng nếu f bất khả quy trên Z thì F cũng thế.

Bài 10. ( Do Lam_sptn post)
Tìm tất cả các số nguyên k sao cho có vô số giá trị nguyên n>2 để đa thức $P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 $ khả quy trên Z.

Bài 11. ( Do Lam_sptn post)
Cho các số nguyên tố khác nhau p,q và số nguyên dương n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho đa thức $f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq $ là khả quy trên Z.

Bài 12. (Do caube_tinhnghich2007 post)
Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức $P_n(x)=x^n+4 $ là khả quy trên Z.

Bài 13. (Do Lam_sptn post)
Hãy viết đa thức sau thành tích các đa thức bất khả quy trên Z:
$x^{2005}-2005x+2004 $

Bài 14. $F_0=F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $ , $a_n=F_{n+1}F_n $. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ là bất khả quy trên Z.

03-01-2008, 12:38 AM	#1
n.t.tuan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 1,250 Thanks: 119 Thanked 616 Times in 249 Posts	Bài tập về đa thức bất khả quy Topic này đặt ở đây cũng được , ở box Đại số cũng được. Mình chọn ở đây vì bên box kia đông quá. Bài 1. Cho f là một đa thức với hệ số nguyên có bậc n và $\alpha_1,...,\alpha_n $ là các nghiệm của nó. Chứng minh rằng nếu $f(x_0) $ là số nguyên tố với một số nguyên $x_0 $ sao cho $\|x_0\|>M+1 $ thì f là bất khả quy trên Z, ở đây $M=\max\alpha_i $ . Bài 2. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng đa thức $x^p-x-a $ là bất khả quy trên Z. Bài 3. f là một đa thức với hệ số nguyên . Nếu có số nguyên dương n sao cho 1)Tất cả các nghiệm của f nằm trong nửa mặt phẳng $Re(z)<n-\frac{1}{2} $ 2)$f(n-1)\not = 0 $ 3)f(n) là số nguyên tố. Chứng minh rằng f là bất khả quy trên Z. Bài 4. a)$f(x)=f_nx^n+...+f_0 $ là đa thức với hệ số nguyên, ở đó $\|f_0\|>1 $. Gọi $\{c_1,...,c_r\} $ là tập các ước của $\|f_0\| $. Giả sử f nhận các giá trị nguyên tố $p_1,...,p_n $ tại n số nguyên phân biệt $a_i $ sao cho $\|a_i\|>2 $ và $a_i $ không chia hết $c_j\pm 1 $ , ở đây i=1,...,n và j=1,...,r. Chứng minh rằng f là bất khả quy. b)Cho $a_1,...,a_n,r,s $ là các số nguyên sao cho $\|a_k\|>2 $. Cho các số $q=(-1)^na_1...a_n+s $ và $p_k=ra+k+s $ là các số nguyên tố với $q\pm 1 $ không chia hết cho $a_k $, ở đây k=1,...,n. Chứng minh rằng đa thức $(x-a_1)...(x-a_n)+rx+s $ bất khả quy trên Z. Bài 5. Cho $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+pa_n $ là một đa thức với hệ số nguyên và p là số nguyên tố ($a_n $ cũng là số nguyên). Chứng minh rằng nếu $p>\sum_{i=0}^{n-1}\|a_n\|^{n-1-i}\|a_i\| $ thì f là bất khả quy trên Z. Bài 6. Cho $a_i $ là n số nguyên phân biệt. a)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)-1 $ bất khả quy trên Z. b)Chứng minh rằng $(x-a_1)...(x-a_n)+1 $ bất khả quy trên Z, trừ các trường hợp $(x-a)(x-a-2)+1=(x-a-1)^2 $ và $(x-a)(x-a-1)(x-a-2)(x-a-3)+1=((x-a-1)(x-a-2)-1)^2 $. c)Chứng minh rằng $[(x-a_1)...(x-a_n)]^2+1 $ bất khả quy trên Z. Bài 7. Chứng minh rằng mỗi đa thức với hệ số nguyên có thể biểu diễn như là tổng của hai đa thức bất khả quy trên Z. Bài 8. a)f là một đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị 1 tại nhiều hơn 3 điểm nguyên. Chứng minh rằng $f(n)\not = -1\forall n\in\mathbb{Z}. $ b)a,b là các số nguyên sao cho đa thức $ax^2+bx+1 $bất khả quy trên Z. Giả sử n>6 và $a_1,...,a_n $ là các số nguyên phân biệt , $\varphi (x)=(x-a_1)...(x-a_n) $. Chứng minh rằng $a\varphi^2(x)+b\varphi (x)+1 $ là bất khả quy trên Z. Bài 9. Cho$ F\in\mathbb{Z}[x_1,...,x_n] $ và f(x)=F(x,...,x). Chứng minh rằng nếu f bất khả quy trên Z thì F cũng thế. Bài 10. ( Do Lam_sptn post) Tìm tất cả các số nguyên k sao cho có vô số giá trị nguyên n>2 để đa thức $P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 $ khả quy trên Z. Bài 11. ( Do Lam_sptn post) Cho các số nguyên tố khác nhau p,q và số nguyên dương n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho đa thức $f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq $ là khả quy trên Z. Bài 12. (Do caube_tinhnghich2007 post) Tìm tất cả các số nguyên dương n để đa thức $P_n(x)=x^n+4 $ là khả quy trên Z. Bài 13. (Do Lam_sptn post) Hãy viết đa thức sau thành tích các đa thức bất khả quy trên Z: $x^{2005}-2005x+2004 $ Bài 14. $F_0=F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n $ , $a_n=F_{n+1}F_n $. Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 $ là bất khả quy trên Z. __________________ T.