|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
11-11-2010, 07:42 PM | #1 |
Moderator Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Hà Nội Bài gởi: 277 Thanks: 69 Thanked 323 Times in 145 Posts | Điểm cố định Cho (O), dây cung BC cố định. A chuyển động trên đường tròn. Một điểm Q cố định trên mp. Gọi $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của Q ứng với tam giác ABC. Gọi X, Y là hai giao điểm của $(A_1B_1C_1) $ với đường tròn Euler của t/g ABC. P là điểm liên hợp đẳng giác của Q trong t/g ABC. M là 1 điểm trên đường vuông góc kẻ từ P tới BC sao cho $\vec{PM}=\vec{u} $ cho trước. CMR trong hai đường thẳng qua X, Y và vuông góc với XM, YM, có một đường thẳng cắt BC tại điểm cố định. Bài này chế hơi loằng ngoằng nhưng rất thú vị |
12-11-2010, 05:30 PM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai Bài gởi: 149 Thanks: 29 Thanked 139 Times in 85 Posts | Em tìm được bài toán tương đương với bài toán này mà cấu hình bớt phức tạp hơn.Tuy vậy thì không biết nó có dễ hơn chút nào không. Bài toán tương đương:Cho $(O) $ và dây cung $BC $ cố định. $A $ đi động trên $(O).A_1 $ là hình chiếu vuông góc của $Q $ (cố định) trên $BC.F $ là điểm Fontene của $Q.K $ là giao của $QA_1 $ với vòng tròn Pedal của $Q $.Chứng minh $\widehat{XKA_1} = constant $ __________________ Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope.... |
20-11-2010, 08:59 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Aug 2009 Đến từ: Biên Hòa Đồng Nai Bài gởi: 149 Thanks: 29 Thanked 139 Times in 85 Posts | Trước hết ta cần 3 bổ đề Bổ đề 1 :Cho tam giác $ABC.P $ là 1 điểm tùy ý trong tam giác $A_1B_1C_1 $ là tam giác Pedal của $P.F $ là điểm $\textbf {Fontene} $ của $P $.Trên đường cao hạ từ $A $ lấy điểm $Q $ sao cho $AQ = PA_1 $ thì khi đó đường tròn đường kính $QA_1 $ đi qua $F $ Chứng minh +Gọi $A_2;B_2;C_2 $ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB $ +Ta có qua phép đối xứng trục $B_2C_2 : (AP) \mapsto (QA_1) $.Đặt $U;V \equiv (AP) \cap (QA_1) \Rightarrow B_2;C_2;U;V $ thẳng hàng.$L \equiv B_2C_2 \cap B_1C_2 $ theo định lý $\textbf {Fontene} $ thì $L;F;A_1 $ thẳng hàng +Tới đây ta nhận được $\overline{LU}.\overline{LV} = \overline{LC_1}.\overline{LB_1} = \overline{LF}.\overline{LA_1} $.Hoàn tất bổ đề Bổ đề 2:Gọi $P' $ là điểm đẳng giác liên hợp của $P.A_3B_3C_3 $ là tam giác Pedal của $P' $ thì đường thẳng simson của $F $ đối với tam giác $A_3B_3C_3 $ song song với $OP $ *Sẽ post cách chứng minh bổ đề này sau Bổ đề 3:Cho $\triangle ABC $ nội tiếp $(O).E;F $ là 2 điểm thuộc $(O) $ thì góc giữa 2 đường thẳng $\textbf{Simson} $ của $E;F $ đối với $\triangle ABC $ bằng nửa số đo cung $EF $ TRỞ LẠI VỚI BÀI TOÁN: +Gọi $ \triangle A_2B_2C_2 $ là tam giác Pedal của $P $ +Đường thẳng vuông góc với $XM $ tại $X $ cắt $BC $ tại $R.J $ là xuyên tâm đối của $A_1 $ trong đường tròn Pedal.Theo bổ đề 2 thì $PJ = QA_1 \Rightarrow JM = constant $ và $\triangle JXM \sim \triangle RXA_1 \Rightarrow \dfrac {RA_1}{JM} = \dfrac {XA_1}{JX} = tan{\widehat{XJA_1}} $ +Ta sẽ chứng minh góc $\widehat{XJA_1} = constant(*) $ Số đo cung $XA_1 $ gấp đôi góc giữa đường thẳng Simson của $X;A_1 $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $ (Bổ đề 3).Mặt khác thì theo bổ đề 2 $OQ $ song song với đường thẳng Simson của $X $ đối với $\triangle A_2B_2C_2 $(Ta gọi đường thẳng này là $d $).Vậy để chứng minh $(*) $ ta sẽ chứng minh $(d;OQ) =constant $ hay nói cách khác là chứng minh $(d;BC) =constant(**) $ +Ta có $(d;BC) = \widehat{C_2A_2B_2} + 2 \widehat{B_2A_2A_1} - \dfrac{\pi}{2} = \widehat{QBC} + \widehat{QCB} +\dfrac {\pi}{2} - 2\widehat{QCB} = constant $.Tới đây ta nhận được $(**) $.Vậy $R $ cố định.đpcm __________________ Vĩnh biệt Toán,vĩnh biệt Mathscope.... thay đổi nội dung bởi: sonltv_94, 20-11-2010 lúc 11:09 PM |
The Following User Says Thank You to sonltv_94 For This Useful Post: | henry0905 (23-12-2012) |
24-10-2016, 03:55 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Feb 2016 Đến từ: tpcl Bài gởi: 1 Thanks: 0 Thanked 0 Times in 0 Posts | đề bài rất hay phải áp dụng nhiều kiến thức mới giải ra |
Bookmarks |
|
|