|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
09-07-2012, 09:50 PM | #1 |
+Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts | [IMO 2012] Bài 4 - Phương trình hàm trên tập số nguyên Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ sao cho với mọi $a+b+c=0$ thì $$ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2 = 2f(a)f(b) + 2f(b)f(c) + 2f(c)f(a). $$ __________________ M. thay đổi nội dung bởi: novae, 12-07-2012 lúc 12:27 AM |
The Following 3 Users Say Thank You to novae For This Useful Post: |
12-07-2012, 01:37 AM | #2 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Sep 2008 Bài gởi: 32 Thanks: 24 Thanked 26 Times in 6 Posts | Biến đổi biểu thức thành: $(f(a) - f(b))^2 = f(c) (2f(a) + 2f(b) - f(c))$ Ta cho các giá trị của $a,b,c$ và nhận được $f$ như sau: (i) $a = b = c = 0 \Rightarrow f(0) = 0$ (ii) $b = -a, c = 0 \Rightarrow f(-a) = f(a)$ (iii) $a = b = 1, c = -2 \Rightarrow f(2) = 0$ Hoặc $f(2) = 4f(1)$ 1. Nếu: $f(2) = 0$ Ta dùng quy nạp để chứng minh: $\Rightarrow f(2n) = 0$ Thật vậy, nếu $f(2k) = 0$ , ta cho $a = 2, b = 2k, c = -2k-2 \Rightarrow f(2k+2) = 0$ Vậy: $\Rightarrow f(2n) = 0$ với mọi $n \in N$ Cho $a=2k+1,b=-(2k+3),c=2$ cùng với chú ý (ii) ta có: $\Rightarrow$ với mọi cặp số lẻ $a, b$, $f(a) = f(b)$ Vây ở trường hợp này $f(x) = c$ với $x$ lẻ, $f(x) = 0$ với $x$ chẵn. 2. Nếu $f(2) = 4f(1)$ Vẫn dùng quy nạp: Nếu $f(i) = i^2 f(1)$ với mọi $i \leq k$ thì cho $a = 1, b = k, c = -k-1 \Rightarrow f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ hoặc $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ (*) Nếu $f(k+1) = (k-1)^2 f(1)$ thì cho $a=k+1, b=-k+1, c = -2 \Rightarrow f(1) = 0 \Rightarrow f(x) = 0$ (*) Nếu $f(k+1) = (k+1)^2 f(1)$ thì $f(x) = x^2 f(1)$ với mọi $x$ |
The Following 4 Users Say Thank You to Harry Potter For This Useful Post: | hoang_kkk (12-07-2012), huynhcongbang (12-07-2012), Kém Toán (12-07-2012), tangchauphong (12-07-2012) |
12-07-2012, 01:39 AM | #3 |
Administrator | Mình thử bài này tí: Đầu tiên, cho $a=b=c=0 $, ta có $3f^2(0)=6f^2(0) $ và do $f(0) \in \mathbb{Z} $ nên $f(0) = 0 $. Cho $c=0 $ thì $f^2(a)+f^2(b) = 2f(a)f(b) $ suy ra $f(a)=f(b) $ hay $f(n)=f(-n) $ với mọi số nguyên n. Cho $a=b=n, c = -2n, n \in \mathbb{Z}^+ $ thì $2f^2(n)+f^2(2n) = 4f(n)f(2n)+2f^2(n) $ hay $f^2(2n) = 4f(n)f(2n) \Leftrightarrow f(2n)(f(2n)-4f(n))=0 $ với mọi số nguyên dương n. Ta xét 2 trường hợp: - Nếu $f(2n) = 0 $ với mọi $n \ge 0 $ thì ta xét $a=1, b=2n-1, c= -2n $, ta có: $f^2(1)+f^2(2n-1)= 2f(1)f(2n-1) $, suy ra $f(1)=f(2n-1) $ với mọi $n $. Đặt $f(1)=m $, ta được một hàm số thỏa mãn đề bài là: $f(n)=m $ với $n $ lẻ và $f(n)=0 $ nếu $n $ chẵn. - Nếu tồn tại $n_0 $ sao cho $f(2n_0) \neq 0 $ thì $n_0>0 $ và $f(2n_0)=4f(n_0) $. Chọn $a=n_0, b=2n_0,c=-3n_0 $ thì $f^2(n_0)+f^2(2n_0)+f^2(3n_0)=2f(n_0)f(2n_0)+2f(2n_ 0)f(3n_0)+2f(3n_0)f(n_0) $ hay $9f^2(n_0)+f^2(3n_0) =10f(n_0)f(3n_0) $. Suy ra $f(3n_0)=f(n_0) $ hoặc $f(3n_0)=9f(n_0) $. Đến đây mình đang nghĩ tiếp, dự đoán là cần chứng minh không xảy ra $f(3n_0)=f(n_0) $ và với $f(3n_0)=9f(n_0) $ thì có thể hàm số là $f(n)=kn^2 $ với k là hằng số nguyên. [Edit] Xét theo kiểu bạn Harry Potter ở trên để ra được $f(2)=4f(1) $ thì khỏe rồi, do không nghĩ đến chuyện quy nạp nên mình cứ xét tổng quát. Tuy nhiên, bài này mình nghĩ là thực sự không mới cho một kì thi như IMO. __________________ Sự im lặng của bầy mèo thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 12-07-2012 lúc 02:04 AM |
The Following 3 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post: |
12-07-2012, 02:08 AM | #4 | ||
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2008 Bài gởi: 35 Thanks: 11 Thanked 25 Times in 13 Posts | Trích:
Trích:
Với $k=2 $ thì có 2 trường hợp: 1. $f(3)=f(1) $ suy ra $f(4)=4f(1) $ hoặc $f(4)=0 $ $(a) $nếu $f(4)=4f(1) $ suy ra $f(2)=f(4)=0 $ (vô lí). $(b) $nếu $f(4)=0 $ thì suy ra $f(n+4)=f(n) $ với mọi $n $ từ đó suy ra hàm. 2.$f(3)=9f(1) $cm quy nạp được $f(n)=n^2f(1) $ | ||
12-07-2012, 02:23 AM | #5 |
+Thành Viên+ | Em làm rất vất vả, nhưng có lẽ là đúng. Trong đẳng thức cho $a=b=c=0 $ suy ra $f(0)=0 $. Cho $c=0, b=-a $ suy ra $(f(a)-f(-a))^2=0 $, suy ra f chẵn. Ta viết lại giả thiết: mọi $b,c $ nguyên thì $f^2(b+c)+f^2(b)+f^2(c)=2f(b)f(c) + 2[f(b)+f(c)]f(b+c) (1) $ +,Nếu $f(1)=0 $, cho$ b=c=1 $ có $f(2)=0 $, dễ thấy nếu $f(b)=f(c)=0 $ thì $f(b+c)=0 $, từ đây suy ra $f(n)=0 $ mọi n tự nhiên, suy ra f là hằng 0. +,Nếu $f(1) $ khác $0 $. Cho $b=c=1 $ có $f(2)=4f(1) $ hoặc $f(2)=0 $. Xét $f(2)=0 $ thì cho $c=2 $ trong $(2) $ được f tuần hoàn chu kì 2, dễ suy ra $f(x)=a $ với mọi $x $ lẻ, $f(x)=0 $ mọi x chẵn. Nếu f(2) khác 0, ta lại xét tiếp 2 trường hợp: +, f(4)=0 thì f tuần hoàn chu kì 4. Thay b=1,c=3 được f(1)=f(3) Vậy ta có hàm f(x)=a với x lẻ, $f(x)=4a $ với x chia 4 dư 2 và $f(x)= 0 $ với x chia hết cho 4. +, $f(4) $ khác $0 $ thì $f(4)=4f(2) $ Cho b=1,c=2 suy ra hoặc $f(3)=9f(1) $ hoặc $f(3)=f(1) $. Ta sẽ loại $f(3)=f(1) $. Thật vậy, khi đó cho $b=3,c=1 $ có $f(4)=4f(1)=f(2) $, điều này vô lí. Vậy $f(3) $ khác $f(1) $. Đến đây mới có thể dùng quy nạp như Harryporter và suy ra $f(k)=k^2f(1) $ __________________ Quay về với nơi bắt đầu thay đổi nội dung bởi: kien10a1, 12-07-2012 lúc 02:26 AM |
The Following User Says Thank You to kien10a1 For This Useful Post: | hoang_kkk (12-07-2012) |
Bookmarks |
|
|