|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
03-10-2014, 07:41 PM | #1 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Bài gởi: 117 Thanks: 189 Thanked 65 Times in 27 Posts | Đề kiểm tra môn toán lớp Việt Pháp 2014, ĐHBK Tp.HCM. Bài kiểm tra số 1 - ĐẠI SỐ Thời gian 100 phút Câu 1. Cho $(G, .)$ là một nhóm sao cho $f: G \rightarrow G: x \rightarrow x^3$ là một tự đồng cấu toàn ánh của $G$. Chứng minh rằng $G$ là một nhóm giao hoán. Câu 2. Cho $(G, .)$ là một nhóm có phần tử trung hòa $e$. $n \in \mathbb{N}^*$ và $a, b \in G$. Chứng minh rằng $(aba=ba^2b, a^3=e, b^{2n-1}=e) \longrightarrow (b=e)$. Câu 3. Giải các phương trình sau: (a) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}$. (b) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = 2$. Câu 4. Giải bất phương trình sau: $\sqrt{3-x} - \sqrt{x +1} > \frac{1}{2}$. Câu 5. (a) Chứng minh rằng $\forall x \in \mathbb{R}, [x] = [\frac{x}{2}] + [\frac{x+1}{2}]$. (b) Tính tổng: $S = [\frac{n+1}{2}] + [\frac{n+2}{4}] + [\frac{n+4}{8}] +...+ [\frac{n+2^k}{2^{k+1}}] +...$. Câu 6. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng: $$0\leq ab + bc + ca -2abc \leq \frac{7}{27}$$ Câu 7. Tính $sup_{z \in U}|z^2 + 2z + 5|$ với $U = \{z\in \mathbb{C}, |z| = 1\}$. Câu 8. Cho $a, b, c$ là ba số phức thỏa $ab = c^2$. Chứng minh rằng: $$|a| + |b| = |\frac{a+b}{2} + c| + |\frac{a+b}{2} - c |.$$ Câu 9. Cho $n \in \mathbb{N^*}$ và $z \in \mathbb{C}$ sao cho $z^n = (z+1)^n = 1$. Chứng minh rằng $n$ là bội của 6 và $z^3 = 1$. Câu 10. Cho $a = cos(\frac{2\pi}{7}) + i.sin (\frac{2\pi}{7})$. Tính $A = a + a^2 + a^4$ và $ B = a^3 + a^5 + a^6$. |
03-10-2014, 09:08 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2012 Đến từ: Tp.HCM Bài gởi: 85 Thanks: 12 Thanked 79 Times in 32 Posts | Trích:
__________________ The Simplest Solution Is The Best Solution | |
The Following 2 Users Say Thank You to Short_list For This Useful Post: | CTK9 (03-10-2014), thaygiaocht (05-10-2014) |
04-10-2014, 11:36 PM | #3 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Apr 2011 Đến từ: CQT- BP Bài gởi: 225 Thanks: 141 Thanked 74 Times in 56 Posts | Đề thú vị hơn VP1 __________________ Thieu Hong Thai thay đổi nội dung bởi: caubemetoan96, 04-10-2014 lúc 11:48 PM |
26-10-2014, 09:35 PM | #4 |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2014 Bài gởi: 32 Thanks: 19 Thanked 10 Times in 8 Posts | Câu 6: Hiển nhiên: ab(a+b)+bc(b+c)+ca\geq 0 \Leftrightarrow ab(1-c)+bc(1-a)+ca\geq 0 \Leftrightarrow ab+bc+ca-2abc\geq 0. Với: p=a+b+c=1 q=ab+bc+ca r=abc Khi đó: q\leq \frac{p^{2}}{3}=\frac{1}{3} Sử dụng BĐT Schur. Ta có: p^{3}+9r\geq 4pq Hay 1+9r\geq 4q \Rightarrow r\geq \frac{4q}{9}-\frac{1}{9}. Từ đó áp dụng vào BĐT trên: ab+bc+ca-2abc=q-2r\leq q-2(\frac{4q}{9}-\frac{1}{9})=\frac{q}{9}+\frac{1}{9}\leq \frac{7}{27} Đến đây bài toán đươc chứng minh xong |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|