Đề kiểm tra môn toán lớp Việt Pháp 2014, ĐHBK Tp.HCM.

CTK9 · 03-10-2014, 07:41 PM

Bài kiểm tra số 1 - ĐẠI SỐ
Thời gian 100 phút

Câu 1. Cho $(G, .)$ là một nhóm sao cho $f: G \rightarrow G: x \rightarrow x^3$ là một tự đồng cấu toàn ánh của $G$. Chứng minh rằng $G$ là một nhóm giao hoán.
Câu 2. Cho $(G, .)$ là một nhóm có phần tử trung hòa $e$. $n \in \mathbb{N}^*$ và $a, b \in G$. Chứng minh rằng $(aba=ba^2b, a^3=e, b^{2n-1}=e) \longrightarrow (b=e)$.
Câu 3. Giải các phương trình sau:
(a) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}$.
(b) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = 2$.
Câu 4. Giải bất phương trình sau:
$\sqrt{3-x} - \sqrt{x +1} > \frac{1}{2}$.
Câu 5.
(a) Chứng minh rằng $\forall x \in \mathbb{R}, [x] = [\frac{x}{2}] + [\frac{x+1}{2}]$.
(b) Tính tổng: $S = [\frac{n+1}{2}] + [\frac{n+2}{4}] + [\frac{n+4}{8}] +...+ [\frac{n+2^k}{2^{k+1}}] +...$.
Câu 6. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng:
$$0\leq ab + bc + ca -2abc \leq \frac{7}{27}$$
Câu 7. Tính $sup_{z \in U}|z^2 + 2z + 5|$ với $U = \{z\in \mathbb{C}, |z| = 1\}$.
Câu 8. Cho $a, b, c$ là ba số phức thỏa $ab = c^2$. Chứng minh rằng:
$$|a| + |b| = |\frac{a+b}{2} + c| + |\frac{a+b}{2} - c |.$$
Câu 9. Cho $n \in \mathbb{N^*}$ và $z \in \mathbb{C}$ sao cho $z^n = (z+1)^n = 1$. Chứng minh rằng $n$ là bội của 6 và $z^3 = 1$.
Câu 10. Cho $a = cos(\frac{2\pi}{7}) + i.sin (\frac{2\pi}{7})$. Tính $A = a + a^2 + a^4$ và $ B = a^3 + a^5 + a^6$.

03-10-2014, 07:41 PM	#1
CTK9 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2012 Bài gởi: 117 Thanks: 189 Thanked 65 Times in 27 Posts	Đề kiểm tra môn toán lớp Việt Pháp 2014, ĐHBK Tp.HCM. Bài kiểm tra số 1 - ĐẠI SỐ Thời gian 100 phút Câu 1. Cho $(G, .)$ là một nhóm sao cho $f: G \rightarrow G: x \rightarrow x^3$ là một tự đồng cấu toàn ánh của $G$. Chứng minh rằng $G$ là một nhóm giao hoán. Câu 2. Cho $(G, .)$ là một nhóm có phần tử trung hòa $e$. $n \in \mathbb{N}^$ và $a, b \in G$. Chứng minh rằng $(aba=ba^2b, a^3=e, b^{2n-1}=e) \longrightarrow (b=e)$. Câu 3. Giải các phương trình sau: (a) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = \sqrt{2}$. (b) $\sqrt{x + \sqrt{2x-1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x-1}} = 2$. Câu 4. Giải bất phương trình sau: $\sqrt{3-x} - \sqrt{x +1} > \frac{1}{2}$. Câu 5. (a) Chứng minh rằng $\forall x \in \mathbb{R}, [x] = [\frac{x}{2}] + [\frac{x+1}{2}]$. (b) Tính tổng: $S = [\frac{n+1}{2}] + [\frac{n+2}{4}] + [\frac{n+4}{8}] +...+ [\frac{n+2^k}{2^{k+1}}] +...$. Câu 6. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 1$. Chứng minh rằng: $$0\leq ab + bc + ca -2abc \leq \frac{7}{27}$$ Câu 7. Tính $sup_{z \in U}\|z^2 + 2z + 5\|$ với $U = \{z\in \mathbb{C}, \|z\| = 1\}$. Câu 8. Cho $a, b, c$ là ba số phức thỏa $ab = c^2$. Chứng minh rằng: $$\|a\| + \|b\| = \|\frac{a+b}{2} + c\| + \|\frac{a+b}{2} - c \|.$$ Câu 9. Cho $n \in \mathbb{N^}$ và $z \in \mathbb{C}$ sao cho $z^n = (z+1)^n = 1$. Chứng minh rằng $n$ là bội của 6 và $z^3 = 1$. Câu 10. Cho $a = cos(\frac{2\pi}{7}) + i.sin (\frac{2\pi}{7})$. Tính $A = a + a^2 + a^4$ và $ B = a^3 + a^5 + a^6$. Không ai quá 6 bài.