Thi chọn HSGQG năm 2010-Đề thi và kết quả

[manhpro]

Chúc mọi người đang và sẽ chuẩn bị thi quốc gia đạt kết quả tốt nhất. Đặc biệt là các anh,chị ở sư phạm.
--------------------------------------

Nguyên văn bởi chemthan

Câu 1. Giải hệ
$x^4-y^4=240 $.
$x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y) $.
Câu 2. $a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\frac{1}{n}} $.
a. Tìm công thức tổng quát của dãy $a_n $.
b. Chứng minh rằng dãy $a_n $ giảm.
Câu 3. Cho đường tròn $(O) $. Hai điểm $B,C $ cố định trên đường tròn, $ BC $không phải đường kính. Lấy $A $ là một điểm trên đường tròn không trùng với $B,C $. $AB $ khác $AC $. $AD,AE $ là các đường phân giác trong và ngoài. $I $ là trung điểm của $DE $. Qua trực tâm tam giác $ABC $ kẻ đường thẳng vuông góc với $AI $ cắt $AD,AE $ tại $M,N $.
a. Chứng minh rằng $MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Xác định vị trí điểm $A $ sao cho $S_{AMN} $ lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n $ phương trình $x^2+15y^2=4^n $ có ít nhất $n $ nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng $3.3 $ và $n $ là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong $n $ màu.
Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm.

Kết quả của các thí sinh: trang 40 của topic
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy2710]

Câu 1 thì PT 1 - vế theo vế PT2x8
Kết quả sẽ là $(4;2),(4;-2),(-4;-2),(-4;2) $
Bài 2,4 thì ngon chứ bài 3-5 thì pó tay
Rớt rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy2710]

được đấy, nếu làm thế sẽ ra được $(x-2)^4=(y-4)^4 $ đấy
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy2710]

Lời giải bài 1 của tớ:
(1)-8.(2) $\leftrightarrow (x^4-8x^3=24x^2-32x+16)=(y^4-16y^3+96y^2-256y+256) \leftrightarrow (x-2)^4=(y-4)^2 $
Suy ra $x+y=2 $ (Do x>y)
Thay vào phương trình đầu, thế là xong
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[toanlc_gift]

Nguyên văn bởi huy2710

được đấy, nếu làm thế sẽ ra được $(x-2)^4=(y-4)^4 $ đấy

nó thành thế này chứ------>
$x(x-4)({{x}^{2}}-4x+8)=(y-6)(y-2)({{y}^{2}}-8y+20) $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoangminhtuan]

Nguyên văn bởi huy2710

Lời giải bài 1 của tớ:
(1)-8.(2) $\leftrightarrow (x^4-8x^3=24x^2-32x+16)=(y^4-16y^3+96y^2-256y+256) \leftrightarrow (x-2)^4=(y-4)^2 $
Suy ra $x+y=2 $ (Do x>y)
Thay vào phương trình đầu, thế là xong

sao lại x>y nhi,tu pt dầu tiên chỉ có /x/ > /y/ thui mà
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy2710]

Có ai làm đc bài 5 ko, post bài giải đi, thất vọng wa'
Bài 4 thì qui nạp thôi, $(x_0,y_0) $ là nghiệm của $x^2+15y^2=4^n $thì $(2x_0,2y_0) $ là nghiệm của $x^2+15y^2=4^{n+1} $
Chứng minh thêm pt $x^2+15y^2=4^{n+1} $ có thêm 1 nghiệm khác nữa là xong
------------------------------

Nguyên văn bởi hoangminhtuan

sao lại x>y nhi,tu pt dầu tiên chỉ có /x/ > /y/ thui mà

Uhm`, lỗi mình, lại sai nữa rồi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[can_hang2008]

Bài 1, anh giải hơi bị cùi bắp:
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[huy2710]

Nguyên văn bởi toanlc_gift

nó thành thế này chứ------>
$x(x-4)({{x}^{2}}-4x+8)=(y-6)(y-2)({{y}^{2}}-8y+20) $

Không, đúng đấy, $x^4-4.2x^3+6.2^2x^2-4.2^3x+2^4=(x-2)^4 $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Hu hu,rớt 100 phần trăm rồi.Hẹn năm sau vậy.
Bài 5 kết quả là $\frac{n^9+n^5+2n^3}{4} $ thì phải.
Trong phòng thi làm lọan xạ cả lên Chả đc bài nào đàng hòang.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[successful]

chỉ vì bài hệ mà...........??????????
Ai cay bài hệ rơ tay
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[hoctoan]

mình nghĩ chắc chỉ có khoảng 30% TS điểm >=10 thôi.
Nếu lấy đủ 60% thì tốt.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[mathkid]

rớt chắc rồi, k wan tâm chiện đó nữa, đội nào có ng` full k? lên tiếng đi
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[nbkschool]

Đánh số các ô từ 1 tới 9
Gọi $a_1,...a_9 $ lần lượt là màu ở ô 1 tới ô 9.Ta nói $a_i=a_j $ nếu ô i và j được tô cùng màu.
Nhận xét rằng nếu $a_1=a_9=x,a_2=a_8=y,a_3=a_7=z,a_4=a_6=t $ và $x \neq z $ hoặc $y \neq t $ thì xoay 180 độ quanh tâm sẽ ra cách tô trùng với cách tô trước khi xoay,còn 2 cách xoay còn lại không trùng (mặc dù vẫn tính là 2 cách tô như nhau).(1)
Còn nếu $x=z,y=t $ thì xoay 90 độ,270 độ,180 độ đều ra cách tô trùng với cách tô ban đầu.(2)
Ô trung tâm không đổi khi xoay,dễ thấy có n cách tô ô trung tâm.
Số cách tô thỏa (1) là $n.\frac{n^4-n^2}{2} $ (chia 2 do xoay 90 độ tính là 2 cách tô như nhau).
Số cách tô thỏa (2) là $n.n^2 $.
Số cách tô không thỏa (1) và (2) là $n.\frac{n^8-n^4}{4} $
Vậy tổng số cách tô là $\frac{n^9+n^5+2n^3}{4} $
Chắc là có sai sót,mong mọi người sửa giùm mình,mình đang mất bình tĩnh.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[leedt26]

Bài hệ làm như cách anh Cẩn là oke mà! còn cách mà các bạn nghĩ ra ở trên thì các bạn khai triển giỏi thật
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]