Tiểu trường xuân toán học miền Nam 2016 - Đề kiểm tra số 1

**namdung** · 24-02-2016, 09:32 AM

Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016

Vietnam TST 2016 MOCK Test 1
Ngày thi: 24/2/2016
Thời gian làm bài: 240 phút

Bài 1.
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

$$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$

Bài 2.
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), ngoại tiếp (I). Gọi (J) là đường tròn Euler và H là trực tâm tam giác. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Điểm T di động trên (J) và đường thẳng qua T vuông góc với HT cắt (O) ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK.
a) Chứng minh rằng K luôn di chuyển trên một đường cố định khi T thay đổi.
b) Đường tròn (S) tiếp xúc ngoài với (J) và tiếp xúc với AB, AC tại X, Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi.
Bài 3.
Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $.
a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai 12.
b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai 10 và 11.
c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng 12 có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?

24-02-2016, 09:32 AM	#1
namdung Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Tp Hồ Chí Minh Bài gởi: 1,343 Thanks: 209 Thanked 4,066 Times in 778 Posts	Tiểu trường xuân toán học miền Nam 2016 - Đề kiểm tra số 1 Tiểu trường Xuân toán học miền Nam 2016 Vietnam TST 2016 MOCK Test 1 Ngày thi: 24/2/2016 Thời gian làm bài: 240 phút Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$\frac{ab+bc+ca+\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}{a+b+ c+\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \le \frac{a+b+c}{3}$$ Bài 2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong (O), ngoại tiếp (I). Gọi (J) là đường tròn Euler và H là trực tâm tam giác. Đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại D, E. Điểm T di động trên (J) và đường thẳng qua T vuông góc với HT cắt (O) ở M, N. Dựng hình bình hành MHNK. a) Chứng minh rằng K luôn di chuyển trên một đường cố định khi T thay đổi. b) Đường tròn (S) tiếp xúc ngoài với (J) và tiếp xúc với AB, AC tại X, Y. Gọi Z là trực tâm của tam giác ADE. Chứng minh rằng tứ giác AXZY là hình thoi. Bài 3. Một cấp số cộng các số nguyên dương gồm ít nhất 3 số hạng được gọi là chuẩn nếu tích các số hạng của nó là ước số của một số có dạng $ n^2 + 1 $. a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng chuẩn với công sai 12. b) Chứng minh rằng không tồn tại cấp số cộng chuẩn với công sai 10 và 11. c) Cấp số cộng chuẩn với công sai bằng 12 có thể có nhiều nhất bao nhiêu số hạng?