Chứng minh đồng quy

[sieusieu90]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC . H là hình chiếu B trên CD. K là hình chiếu D trên BC. Hai đường thẳng qua B,D vuông góc BD cắt HK tại E,F. Gọi giao điểm AB và CD là P, AD và BC là E. Chứng minh BD, PE, QF đồng quy.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[imalx]

Dễ thấy tứ giác $BDKH$ là tứ giác nội tiếp.
Trong tam giác $BHP$, ba cát tuyến $PE, HE, BE$ cắt nhau tại $E$ nên theo trig Ceva có:
$\frac{sin BPE}{sin EPH}. \frac{sin PHE}{sin EHB}. \frac{sinHBE}{sinEBP} = 1$

Nhưng do $\angle EBP = \angle DBK = \angle DHK = \angle PHE$ nên đẳng thức trên tương đương với

$\frac{sin BPE}{sin EPH} = \frac{sin EHB}{sin HBE} = \frac{sin BDK}{sin BHD} = \frac{sin DBA}{sinBDP} = \frac{sin DBP}{sin BDP} = \frac{PD}{PB}$.

Điều trên dẫn đến $PE$ đi qua trung điểm $M$ của $BC$.
Tương tự như vậy, $QF$ cũng đi qua $M$ và ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

[quickmath]

Ap dung dlí ceva
------------------------------
áp dung dli1 ceva
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]