|
|
|
Ngoài một số quy định đã được nêu trong phần Quy định của Ghi Danh , mọi người tranh thủ bỏ ra 5 phút để đọc thêm một số Quy định sau để khỏi bị treo nick ở MathScope nhé ! * Quy định về việc viết bài trong diễn đàn MathScope * Nếu bạn muốn gia nhập đội ngũ BQT thì vui lòng tham gia tại đây |
| Ðiều Chỉnh | Xếp Bài |
13-02-2019, 02:11 PM | #1 |
Super Moderator | Qua giới hạn dưới dấu tích phân Mình gặp một vấn đề khi đọc quyển Một số pp giải bài toán biên phi tuyến của cụ J. L. Lions. Cụ thể như sau: cho $h \in {L^1}\left( {0,T} \right)$, chứng minh rằng với hầu hết $t \in \left( {0,T} \right)$ ta đều có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left[ {1 - n\left( {s - t} \right)} \right]h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\] Cụ Lions bảo dùng định lý Lebesgue nhưng rõ là hội tụ bị chặn của Lebesgue không dùng được. Mình nghĩ là dùng định lý về điểm Lebesgue nhưng vẫn chưa ra. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
19-02-2019, 11:29 PM | #2 | |
+Thành Viên+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: Ha Noi Bài gởi: 709 Thanks: 13 Thanked 613 Times in 409 Posts | Trích:
\[ \lim_{n \to \infty} n \int_t^{t + \frac 1n} (1 -n(s-t)) h(s) ds = \frac12 h(t).\] Thật vậy, xét hàm \[ \varphi_n(t) = n \int_t^{t + \frac 1n} (1 -n(s-t)) h(s) ds = \int_0^1 (1-u) h\left(t+ \frac u n\right) du.\] Ta có \[ \varphi_n(t) - \frac 12 h(t) = \int_0^1 (1-u)\left[ h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right] du, \] do đó \[ \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| \leq \int_0^1 (1-u)\left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| du. \] Tích phân 2 vế trên $\mathbb R$ và dùng định lý Fubini, ta được \[ \int_{\mathbb R} \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| dt \leq \int_0^1 (1-u) \int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt du. \] Do chuẩn $L^1$ liên tục với phép tịnh tiến nên \[ \lim_{n\to \infty } \int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt = 0, \] với mọi $u \in [0,1]$. Mặt khác ta có \[ \int_{\mathbb R} \left|h\left(t+ \frac u n\right) - h(t)\right| dt \leq 2 \int_{\mathbb R} |h(t)| dt. \] Sử dụng định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue, ta được \[ \lim_{n\to \infty} \int_{\mathbb R} \left| \varphi_n(t) - \frac 12 h(t)\right| dt =0. \] Do đó, với hầu hết $t \in \mathbb R$ ta có $\varphi_n(t) \to \frac 12 h(t)$. Đặt $A$ là tập các $t$ như vậy. Khi đó $B = \mathbb R \setminus A$ có độ đo $0$. Do đó $B \cap (0,T)$ có độ đo $0$. Hiển nhiên với mọi $t \in (0,T) \setminus B$ thì $t \in A$ do đó $\varphi_n(t) \to \frac 12 h(t)$. | |
The Following User Says Thank You to 123456 For This Useful Post: | portgas_d_ace (20-02-2019) |
20-02-2019, 11:26 AM | #3 |
Super Moderator | Em trình bày một cách khác như sau \[n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left[ {1 - n\left( {s - t} \right)} \right]h\left( s \right)ds} = n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {h\left( s \right)ds} - {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} .\] Do định lý về điểm Lebesgue, ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {h\left( s \right)ds} = h\left( t \right).\] Nên ta chỉ cần chứng minh \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\] Ta có \[\left| {{n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} - \frac{1}{2}h\left( t \right)} \right| = \left| {{n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)\left( {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right)ds} } \right| \leqslant n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left| {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right|ds} .\] Lại do định lý về điểm Lebesgue, ta có \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left| {h\left( s \right) - h\left( t \right)} \right|ds} = 0.\] Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {n^2}\int\limits_t^{t + \frac{1}{n}} {\left( {s - t} \right)h\left( s \right)ds} = \frac{1}{2}h\left( t \right).\] Chứng minh hoàn tất. __________________ - Đừng cố gắng trở thành một con người thành công, mà hãy trở thành một con người có giá trị - |
Bookmarks |
Ðiều Chỉnh | |
Xếp Bài | |
|
|